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第31练不等式选讲明晰考情1.命题角度：绝对值不等式的解法、求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的应用和证明是命题的热点.2.题目难度：中档难度.考点一绝对值不等式的解法方法技巧|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.1.(2018全国)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)5|x1|x2|可得f(x)0的解集为x|2x3.(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，当且仅当xa与2x同号时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).2.(2018大庆质检)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)5的解集；(2)当x0,2时，不等式f(x)x2xa恒成立，求实数a的取值范围.解(1)由题意知，需解不等式|x1|x2|5.当x2时，上式化为2x15，解得x3.f(x)5的解集为x|x2或x3.(2)当x0,2时，f(x)3，则当x0,2时，x2xa3恒成立.设g(x)x2xa，则g(x)在0,2上的最大值为g(2)2a.g(2)3，即2a3，得a1.实数a的取值范围为1，).3.已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.解(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，又|x1|0，可得不等式的解集为(2,4).(2)因为对任意x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x).又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为(，51，).考点二不等式的证明要点重组(1)绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|.(2)算术几何平均不等式如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立.方法技巧证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.4.(2017全国)已知a0，b0，a3b32，证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2(当且仅当ab时，等号成立)，所以(ab)38，所以ab2.5.(2018咸阳模拟)已知函数f(x)|x|x3|(xR).(1)求f(x)的最大值m；(2)设a，b，c为正实数，且2a3b4cm，求证：3.(1)解方法一由f(x)知f(x)3,3，即m3.方法二由绝对值不等式f(x)|x|x3|xx3|3，得m3.方法三由绝对值不等式的几何意义知f(x)|x|x3|3,3(xR)，即m3.(2)证明2a3b4c3(a，b，c0)，3.当且仅当2a3b4c，即a，b，c时取等号，即3.6.已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2，得2x1，所以1x；当x时，由f(x)2，得x；当x时，由f(x)2，得2x2，解得x1，所以x1.综上知，f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，因此|ab|0)，所以2a1xa12a，所以a1x13a.因为不等式f(x)1的解集为x|2x4，所以解得a1，满足12a0，故a1.(2)由(1)得f(x)|x1|2，不等式f(x)k2k4恒成立，只需f(x)mink2k4，所以2k2k4，即k2k20，所以k的取值范围是1,2.8.已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)当x0时，函数g(x)(a0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围.解(1)当x2时，原不等式可化为x2x11，此时不成立；当1x2时，原不等式可化为2xx11，解得1x0；当x1时，原不等式可化为2xx11，解得x1.综上，原不等式的解集是x|x0.(2)因为g(x)ax121，当且仅当x时等号成立，所以g(x)ming21.当x0时，f(x)所以f(x)3,1).所以211，解得a1.所以实数a的取值范围为1，).9.已知函数f(x)|2x1|xa|，g(x)3x2.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a，存在x使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)可化为|2x1|x2|3x20，设y|2x1|x2|3x2，则y由y0，解得x，所以原不等式的解集为.(2)当x时，f(x)2x1xa3x1a，不等式f(x)g(x)可化为a6x1.设h(x)6x1，则h(x)minh(a)6a1，由题意知ah(x)min6a1，解得a.又a，所以a的取值范围是.典例(10分)已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)4|x1|；(2)已知mn1(m，n0)，若|xa|f(x)(a0)对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准解(1)不等式f(x)4|x1|，即|3x2|x1|4，当x时，不等式可化为3x2x14，解得x；1分当x1时，不等式可化为3x2x14，解得x；2分当x1时，不等式可化为3x2x14，无解.3分综上所述，不等式的解集为.4分(2)(mn)114，当且仅当mn时，等号成立.5分令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|当x时，g(x)maxa.8分要使不等式|xa|f(x)对任意的xR恒成立，只需g(x)maxa4，即0a.10分构建答题模板第一步解不等式；第二步转化：将恒成立问题或有解问题转化成最值问题；第三步求解：利用求得的最值求解取值范围.1.(2018全国)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时，|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|1成立.若a0，则当x(0,1)时，|ax1|1；若a0，则|ax1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,2.2.已知关于x的不等式m|x2|1的解集为0,4.(1)求m的值；(2)若a，b均为正整数，且abm，求a2b2的最小值.解(1)不等式m|x2|1可化为|x2|m1(m10)，1mx2m1，即3mxm1.其解集为0,4，解得m3，满足m10，故m3.(2)由(1)知ab3.(ab)2a2b22ab(a2b2)(a2b2)2(a2b2)，a2b2，当且仅当ab时取等号，a2b2的最小值为.3.已知函数f(x)，aR.(1)若不等式f(x)2恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a1时，直线ym与函数f(x)的图象围成三角形，求m的取值范围.解(1)因为f(x)2恒成立，即|x1|1恒成立，所以min1成立，由|x1|，得1，解得a0或a4，所以a的取值范围为(，04，).(2)当a1时，f(x)作出f(x)的图象，如图所示.由图象可知，当m1时，直线ym与函数f(x)的图象围成三角形，故所求m的取值范围为.4.(2018全国)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb恒成立，求ab的最小值.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)上恒成立，因此ab的最小值为5.
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