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考点规范练23平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固组1.已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案D解析设点B的坐标为(x,y),则AB=(x+1,y-5).由AB=3a,得x+1=6,y-5=9,解得x=5,y=14.2.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则=()A.12B.14C.1D.2答案A解析由于a+b=(1+,2),故(a+b)c4(1+)-6=0,解得=12,故选A.3.(2017浙江三市十二校联考)已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB同方向的单位向量是()A.35,-45B.45,-35C.-35,45D.-45,35答案A解析AB=OB-OA=(4,-1)-(1,3)=(3,-4),故与AB同方向的单位向量为AB|AB|=35,-45.4.已知向量AC,AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,若AC=AB+AD,则+等于()A.2B.-2C.3D.-3答案A解析如图所示,建立平面直角坐标系,则AD=(1,0),AC=(2,-2),AB=(1,2).因为AC=AB+AD,所以(2,-2)=(1,2)+(1,0)=(+,2),所以2=+,-2=2,解得=-1,=3,所以+=2.故选A.5.如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则()A.x=23,y=13B.x=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案A解析由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.6.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=.答案(-1,1)或(-3,1)解析由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1),或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).7.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案12解析由题可得2a+b=(4,2),c(2a+b),c=(1,),4-2=0,即=12,故答案为12.8.如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=BA+BD(,R),则+=.答案34解析由平面向量基本定理可得BE=12BA+12BO=12BA+14BD,故=12,=14,所以+=34.能力提升组9.已知a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于()A.-12a+32bB.12a-32bC.-32a-12bD.-32a+12b答案B解析设c=a+b,即(-1,2)=(1,1)+(1,-1),所以-1=+,2=-,解得=12,=-32,所以c=12a-32b.10.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且ab,若x,y均为正数,则3x+2y的最小值是()A.24B.8C.83D.53答案B解析ab,-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3.x,y均为正数,3x+2y=3x+2y13(2x+3y)=136+9yx+4xy+61312+29yx4xy=8,当且仅当9yx=4xy时,等号成立,3x+2y的最小值是8,故选B.11.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值是()A.1B.2C.3D.2答案B解析法一:以O为原点,向量OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系,设=,0,2,则OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(cos,sin).由OC=xOA+yOB,x=cos,y=sin.x+y=cos+sin=2sin+4,+44,34,x+y的最大值为2.法二:点C在以O为圆心的圆弧AB上,|OC|2=|xOA+yOB|2=x2+y2+2xyOAOB=x2+y2=1(x+y)22.x+y2.当且仅当x=y=22时等号成立.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点A,B分别在x,y轴上运动,且|AB|=2,若m=13OA+23OB,则|m|的取值范围是()A.23,43B.13,23C.0,2D.0,253答案A解析由题意,设A(a,0),B(0,b),由|AB|=2,得a2+b2=4,m=13OA+23OB=13(a,0)+23(0,b)=13a,23b.|m|2=13a2+23b2=a2+4b29=4+3b29.又0b24,49|m|2169,得23|m|43.故选A.13.已知OAB是边长为1的正三角形,若点P满足OP=(2-t)OA+tOB(tR),则|AP|的最小值为()A.3B.1C.32D.34答案C解析以O为原点,以OB为x轴,建立坐标系,OAB为边长为1的正三角形,A12,32,B(1,0),OP=(2-t)OA+tOB=1+12t,3-32t,AP=OP-OA=12t+12,32-32t,|AP|=12t+122+32-32t2=t2-t+1=t-122+3432,故选C.14.已知向量a,b,且|b|=2,ab=2,则|tb+(1-2t)a|(tR)的最小值为.答案1解析设b=(2,0),a=(x,y),由ab=2得x=1,a=(1,y).tb+(1-2t)a=1+(1-2t)y.|tb+(1-2t)a|2=1+(1-2t)2y21,当且仅当t=12或y=0时取“=”.故所求最小值为1.15.在直角坐标系xOy中,已知点A,B,C是圆x2+y2=4上的动点,且满足ACBC.若点P的坐标为(0,3),则|PA+PB+PC|的最大值为.答案11解析因为ACBC,所以AB为直径.所以PA+PB=2PO,设C(2cos,2sin),则PA+PB+PC=2PO+PC=(2cos,2sin-9),所以|PA+PB+PC|=4cos2+(2sin-9)2=85-36sin,当sin=-1时,有最大值为11.16.已知A(cos ,3sin ),B(2cos ,3sin ),C(-1,0)是平面上三个不同的点,且满足关系CA=BC,则实数的取值范围是.答案-2,1且0解析CA=BC,(cos+1,3sin)=(-1-2cos,-3sin),1+cos=(-1-2cos),3sin=-3sin,1=cos2+sin2=(-1-2cos)-12+(-sin)2,化为:=4cos+23cos2+4cos+2,令2cos+1=t-1,3.则=8t3t2+2t+3=f(t),f(t)=-24(t+1)(t-1)(3t2+2t+3)2,可知:t=1时,函数f(t)取得最大值,f(1)=1.又f(-1)=-2,f(3)=23,-2,1,由于t=0时,=0,点A与C重合,舍去.-2,1,0.故答案为:-2,1,0.17.如图,已知ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,且ADDB=BEEC=21,AE与CD交于点P.设存在和,使AP=AE,PD=CD,AB=a,BC=b.(1)求及;(2)用a,b表示BP;(3)求PAC的面积.解(1)由于AB=a,BC=b,则AE=a+23b,DC=13a+b.AP=AE=a+23b,DP=DC=13a+b,AP=AD+DP=23AB+DP,即23a+13a+b=a+23b.=23+13,=23,解得=67,=47.(2)BP=BA+AP=-a+67a+23b=-17a+47b.(3)设ABC,PAB,PBC的高分别为h,h1,h2,h1h=|PD|CD|=47,SPAB=47SABC=8.h2h=|PE|AE|=1-=17,SPBC=17SABC=2,SPAC=4.18.如图,G是OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.M为AB的中点.(1)设PG=PQ,将OG用,OP,OQ表示;(2)设OP=xOA,OQ=yOB,证明:1x+1y是定值.(1)解OG=OP+PG=OP+PQ=OP+(OQ-OP)=(1-)OP+OQ.(2)证明由(1)得OG=(1-)OP+OQ=(1-)xOA+yOB;因为G是OAB的重心,所以OG=23OM=2312(OA+OB)=13OA+13OB.又OA,OB不共线,所以由,得(1-)x=13,y=13,解得1x=3-3,1y=3.所以1x+1y=3(定值).
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