特征值与特征向量.ppt

第五章特征值与特征向量矩阵的对角化 5 1矩阵的特征值和特征向量相似矩阵特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本性质相似矩阵及其性质 特征值和特征向量的基本概念 定义5 1设A是复数域C上的n阶矩阵 如果存在数 C和非零n维向量x 使得Ax x则称 为A的特征值 x为A的属 对应 于特征值 的特征向量 定义5 1设n阶矩阵A aij 则 称为A的特征多项式 I A 称为A的特征矩阵 I A 0称为A的特征方程 n阶矩阵A的特征多项式在复数域上的n个根都是矩阵A的特征值 其k重根叫做k重特征值 如何求特征值及特征向量 1 计算特征多项式 2 求出的全部根 3 对于每个 求的全部非零解 例 求矩阵 的特征值及特征向量 例 n阶对角矩阵A 上 下 三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11 a22 ann 解 A的特征方程为 A的特征值为 1 0 2 3 2 对于 1 0 求解 0I A x 0 即 得基础解系 x1 1 1 1 T kx1 k 0为任意常数 是A的属于 1的全部特征向量 对于 2 3 2 求解 2I A x 0 即 得基础解系 x2 1 1 0 T x3 1 0 1 T k2x2 k3x3 k2 k3是不全为零的任意常数 是A关于 2 3的全部的特征向量 例设向量 都是方阵对应于特征值的特征向量 又向量 求 解 定理5 1若x1 x2是A属于 0的两个的特征向量 则k1x1 k2x2也是A属于 0的特征向量 其中k1 k2是任意常数 但k1x1 k2x2 0 I A x 0的解空间称为A的关于 的特征子空间 记作V dimV n r I A k1x1 k2x2 x2 1 1 0 T x3 1 0 1 T k1 k2 R L 1 1 0 T 1 0 1 T 特征值和特征向量的性质 如例 中 kx x 1 1 1 T k R L 1 1 1 T 定理5 2若n阶矩阵A aij 的n个特征值为 1 2 n 则 称A的主对角元的和 为A的迹 记作tr A 性质1若 是A的特征值 x是A的属于 的特征向量 则 1 k 是kA的特征值 k为任意常数 2 m是Am的特征值 3 若A可逆 则 1为A 1的一个特征值 而x仍然是矩阵kA Am和A 1的分别对应于特征值k m和 1的特征向量 证明 性质2矩阵A和AT的特征值相同 定理5 2若n阶矩阵A aij 的n个特征值为 1 2 n 则 n c1 n 1 ck n k cn 1 cn 式可表示为2n个行列式之和 其中展开后含 n 1项的行列式有下面n个 证明 它们的和等于 a11 a22 ann n 1 式中不含 的常数项为 所以 由根与系数的关系及常数项相等 得证 返回 例3设 解 1 A的特征值为 1 2 0 3 2 求A的特征值和特征向量 求可逆矩阵P 使P 1AP为对角阵 对于 1 2 0 求解 1I A x 0 即 得基础解系 x1 1 1 0 T x2 1 0 1 T 则k1x1 k2x2 k1 k2不全为0 是A的属于 1的全部特征向量 则AP P 且 P 0 所以 P 1AP 为对角矩阵 A的属于 2的全部特征向量为k3x k3 0为任意常数 对于 3 2 求解 2I A x 0 即 得基础解系 x3 1 2 1 T 2 将Axi ixi i 1 2 3 排成矩阵 1 设3阶矩阵的特征值为1 1 2 求 2 设矩阵满足方程 证明矩阵可逆 方阵A的多项式的特征值 已知f x amxm am 1xm 1 a1x a0是个多项式 则f A amAm am 1Am 1 a1A a0I称为方阵A的多项式 若A的特征值是 则f A 的特征值是f 见P250 28 相似矩阵及其性质 定义5 3对于矩阵A B 若存在可逆矩阵P 使P 1AP B 则称A相似于B 记作A B 矩阵的相似关系是一种等价关系 具有以下性质 自反性 对称性 传递性 相似矩阵还有以下性质 1 C 1 kA tB C kC 1AC tC 1BC k t F 2 C 1 AB C C 1AC C 1BC 3 若A B 则Am Bm m为正整数 4 若A B 则f A f B 其中f x amxm am 1xm 1 a1x a0是个多项式 f A amAm am 1Am 1 a1A a0I ai F i 0 1 m f B amBm am 1Bm 1 a1B a0I 定理5 4若矩阵A与B相似 则它们的特征多项式相等 即 I A I B 从而A B有相等的特征值 注意 此定理的逆命题不成立 例如 若A与对角阵相似呢