(江苏专用)2019高考数学二轮复习 第二篇 第17练 导数的概念及简单应用试题 理.docx

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第17练导数的概念及简单应用明晰考情1.命题角度:考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度:中档偏难.考点一导数的几何意义方法技巧(1)f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率.(2)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.1.已知函数f(x1),则曲线yf(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为_.答案1解析由f(x1),知f(x)2.f(x),且f(1)1.由导数的几何意义,得所求切线的斜率k1.2.(2018宿迁检测)曲线C:f(x)lnxx2在点(1,f(1)处的切线方程为_.答案3xy20解析由题可得f(x)2x,f(1)1,f(1)3,切线方程为y13(x1),即3xy20.3.设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直,则a_.答案1解析y,则曲线y在点处的切线的斜率为k11.所以直线斜率存在,即a0,所以斜率k2,又该切线与直线xay10垂直,所以k1k21,解得a1.4.(2018全国改编)设函数f(x)x3(a1)x2ax,若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为_.答案xy0解析方法一f(x)x3(a1)x2ax,f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数,f(x)f(x)恒成立,即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立,a1,f(x)3x21,f(0)1,曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.方法二f(x)x3(a1)x2ax为奇函数,f(x)3x22(a1)xa为偶函数,a1,即f(x)3x21,f(0)1,曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.(2)若已知函数的单调性,则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.5.已知函数f(x)lnxx,若af,bf(),cf(5),则a,b,c的大小关系为_.答案cba解析f(x)10恒成立,f(x)在(0,)上为减函数.afln33f(3).3f()f(5),abc.6.设函数f(x)x29lnx在区间a1,a1上单调递减,则实数a的取值范围是_.答案(1,2解析易知f(x)的定义域为(0,),且f(x)x.由f(x)x0,解得0x3.f(x)x29ln x在a1,a1上单调递减,解得1f(x)恒成立,若x1f(x1)解析设g(x),则g(x),由题意知g(x)0,所以g(x)单调递增,当x1x2时,g(x1)f(x1).8.(2018苏州调研)若函数y在其定义域上单调递减,则称函数f(x)是“L函数”.已知f(x)ax22是“L函数”,则实数a的取值范围是_.答案0,2解析由题意得g(x)在R上单调递减,所以g(x)0在R上恒成立,所以ax22ax20对任意xR恒成立,所以ax22ax20对任意xR恒成立,所以a0或解得0a2.考点三导数与函数的极值、最值方法技巧(1)函数零点问题,常利用数形结合与函数极值求解.(2)含参恒成立或存在性问题,可转化为函数最值问题;若能分离参数,可先分离.特别提醒(1)若yf(x)在x0处可导,则f(x0)0是函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件.(2)函数f(x)在a,b上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点.9.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值为_.答案1解析函数f(x)(x2ax1)ex1,则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1.由x2是函数f(x)的极值点,得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30,所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1,f(x)ex1(x2x2).由ex10恒成立,得当x2或x1时,f(x)0,且当x2时,f(x)0;当2x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)1.10.已知f(x)是定义在R上的可导函数f(x)的导数,对任意xR,x3且x1,都有(x22x3)f(x)ex0,f(1)0,f(2)0,则下列结论错误的是_.(填序号)f(x)的增区间为(,1),(3,);f(x)在x3处取极小值,在x1处取极大值;f(x)有3个零点;f(x)无最大值也无最小值.答案解析由x3且x1,(x22x3)f(x)ex0知,f(x),当x3时,x22x30,f(x)0,当1x3时,x22x30,f(x)0,f(x)的增区间为(,1),(3,),减区间为(1,3);f(x)在x3处取极小值,在x1处取极大值.又f(1)0,f(2)0,由f(x)的草图(图略)知,f(x)恰有一个零点,且f(x)无最大值也无最小值,故结论正确,错误的结论为.11.(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0,)内有且只有一个零点,则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_.答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0).当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增,又f(0)1,f(x)在(0,)上无零点,不合题意.当a0时,由f(x)0,解得x,由f(x)0,解得0x,f(x)在上单调递减,在上单调递增.又f(x)只有一个零点,f10,a3.此时f(x)2x33x21,f(x)6x(x1),当x1,1时,f(x)在1,0上单调递增,在(0,1上单调递减.又f(1)0,f(1)4,f(0)1,f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.12.已知f(x)x33x3,g(x)(x1)2a,x10,2,x20,2,使得f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是_.答案解析x10,2,x20,2,使得f(x1)g(x2)成立,等价于f(x)ming(x)min,f(x)3x23(x1),故当x(0,1)时,f(x)0,故f(x)minf(1)1;当x2时,g(x)取得最小值g(2)a9,所以1a9,即实数a的取值范围是a10.1.已知f(x)lnx,g(x)x2mx(m0),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1),则m_.答案2解析f(x),直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0,切线l的方程为yx1.g(x)xm,设直线l与g(x)的图象的切点为(x0,y0),则有x0m1,y0x01,y0xmx0(m0),于是解得m2.2.若函数f(x)xsin2xasinx在(,)上单调递增,则a的取值范围是_.答案解析函数f(x)xsin 2xasin x在(,)上单调递增,f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0在(,)上恒成立,即acos xcos2x在(,)上恒成立.当cos x0时,恒有0,得aR;当0cos x1时,得acos x,令tcos x,g(t)t在(0,1上为增函数,得ag(1);当1cos x0),则x1ea1k,x2lna,所以x1x2ea1klna,设g(a)ea1klna,则g(a)ea1,所以当a1时,g(a)0;当0a1时,g(a)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)(x2)ex0,解得x2.3.已知函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数,则实数m的取值范围为_.答案(,4解析由函数f(x)x3mx24x3,可得f(x)x2mx4,由函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数,可得x2mx40在区间1,2上恒成立,可得mx,又x24,当且仅当x2时取等号,可得m4.4.已知函数f(x)是定义在区间(0,)上的可导函数,其导函数为f(x),且满足xf(x)2f(x)0,则不等式的解集为_.答案x|2018x2013解析构造函数g(x)x2f(x),x(0,),则g(x)x2f(x)xf(x).当x0时,2f(x)xf(x)0,g(x)0,g(x)在(0,)上单调递增.不等式,x20180,(x2018)2f(x2018)52f(5),即g(x2018)g(5),00,方程6x22x10中的200恒成立,即f(x)在定义域上单调递增,无极值点.6.(2018淮安质检)若函数f(x)mx2(2m1)xlnx在x1处取得极小值,则实数m的取值范围是_.答案解析f(x)的定义域是(0,),f(x)mx2(2m1)xlnx,f(x)2mx(2m1),若m0,f(x),x1为极大值点,不合题意,m0.令f(x)0,解得x或x1,若f(x)在x1处取得极小值,则0.7.设aR,若函数yexax,xR有大于零的极值点,则a的取值范围是_.答案(,1)解析yexax,yexa.函数yexax有大于零的极值点,则方程yexa0有大于零的解.当x0时,ex1,aex0,两个切线方程分别为y(x1)2x1(xx1),y(aln x21)(xx2),化简得y2x1x1x,yxaln x2a1,两条切线为同一条.可得则a4x(ln x21),令g(x)4x24x2ln x(x0),则g(x)4x(12ln x),所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,g(x)maxg()2e.所以a(0,2e.10.(2018全国)已知函数f(x)2sinxsin2x,则f(x)的最小值是_.答案解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1).cosx10,当cosx时,f(x)0,f(x)单调递减;当cosx时,f(x)0,f(x)单调递增,当cosx时,f(x)取得最小值.又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx),当sinx时,f(x)取得最小值,即f(x)min2.11.若在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立,则a的取值范围是_.答案(,1)解析2x(3xa)1可化为a2x3x,则在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立等价于a(2x3x)max,而y2x3x在0,1上单调递减,y2x3x在0,1上的最大值为2001,a1,故a的取值范围是(,1).12.已知函数f(x)exx,若f(x)0的解集中只有一个正整数,则实数k的取值范围为_.答案解析f(x)0,即exx0,即kx正整数解只有一个,设g(x),所以g(x),当x0,当x1时,g(x)0,所以g(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,所以g(x)maxg(1),由图可知,kx的唯一一个正整数解只能是1,所以有解得k,所以实数k的取值范围为.
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