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第17练导数的概念及简单应用明晰考情1.命题角度：考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和最值.2.题目难度：中档偏难.考点一导数的几何意义方法技巧(1)f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率.(2)f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，y0)处切线的斜率.1.已知函数f(x1)，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_.答案1解析由f(x1)，知f(x)2.f(x)，且f(1)1.由导数的几何意义，得所求切线的斜率k1.2.(2018宿迁检测)曲线C：f(x)lnxx2在点(1，f(1)处的切线方程为_.答案3xy20解析由题可得f(x)2x，f(1)1，f(1)3，切线方程为y13(x1)，即3xy20.3.设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.答案1解析y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.所以直线斜率存在，即a0，所以斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.4.(2018全国改编)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为_.答案xy0解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.方法二f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.考点二导数与函数的单调性方法技巧(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.5.已知函数f(x)lnxx，若af，bf()，cf(5)，则a，b，c的大小关系为_.答案cba解析f(x)10恒成立，f(x)在(0，)上为减函数.afln33f(3).3f()f(5)，abc.6.设函数f(x)x29lnx在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是_.答案(1,2解析易知f(x)的定义域为(0，)，且f(x)x.由f(x)x0，解得0x3.f(x)x29ln x在a1，a1上单调递减，解得1f(x)恒成立，若x1f(x1)解析设g(x)，则g(x)，由题意知g(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)f(x1).8.(2018苏州调研)若函数y在其定义域上单调递减，则称函数f(x)是“L函数”.已知f(x)ax22是“L函数”，则实数a的取值范围是_.答案0,2解析由题意得g(x)在R上单调递减，所以g(x)0在R上恒成立，所以ax22ax20对任意xR恒成立，所以ax22ax20对任意xR恒成立，所以a0或解得0a2.考点三导数与函数的极值、最值方法技巧(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解.(2)含参恒成立或存在性问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离.特别提醒(1)若yf(x)在x0处可导，则f(x0)0是函数yf(x)在xx0处取得极值的必要不充分条件.(2)函数f(x)在a，b上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点.9.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_.答案1解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1.由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1.所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2).由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点.所以函数f(x)的极小值为f(1)1.10.已知f(x)是定义在R上的可导函数f(x)的导数，对任意xR，x3且x1，都有(x22x3)f(x)ex0，f(1)0，f(2)0，则下列结论错误的是_.(填序号)f(x)的增区间为(，1)，(3，)；f(x)在x3处取极小值，在x1处取极大值；f(x)有3个零点；f(x)无最大值也无最小值.答案解析由x3且x1，(x22x3)f(x)ex0知，f(x)，当x3时，x22x30，f(x)0，当1x3时，x22x30，f(x)0，f(x)的增区间为(，1)，(3，)，减区间为(1,3)；f(x)在x3处取极小值，在x1处取极大值.又f(1)0，f(2)0，由f(x)的草图(图略)知，f(x)恰有一个零点，且f(x)无最大值也无最小值，故结论正确，错误的结论为.11.(2018江苏)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_.答案3解析f(x)6x22ax2x(3xa)(x0).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点，不合题意.当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得0x，f(x)在上单调递减，在上单调递增.又f(x)只有一个零点，f10，a3.此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1,1时，f(x)在1,0上单调递增，在(0,1上单调递减.又f(1)0，f(1)4，f(0)1，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.12.已知f(x)x33x3，g(x)(x1)2a，x10,2，x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_.答案解析x10,2，x20,2，使得f(x1)g(x2)成立，等价于f(x)ming(x)min，f(x)3x23(x1)，故当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)minf(1)1；当x2时，g(x)取得最小值g(2)a9，所以1a9，即实数a的取值范围是a10.1.已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_.答案2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0(m0)，于是解得m2.2.若函数f(x)xsin2xasinx在(，)上单调递增，则a的取值范围是_.答案解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2cos2x1)acos xcos2xacos x0在(，)上恒成立，即acos xcos2x在(，)上恒成立.当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，g(t)t在(0,1上为增函数，得ag(1)；当1cos x0)，则x1ea1k，x2lna，所以x1x2ea1klna，设g(a)ea1klna，则g(a)ea1，所以当a1时，g(a)0；当0a1时，g(a)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.3.已知函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，则实数m的取值范围为_.答案(，4解析由函数f(x)x3mx24x3，可得f(x)x2mx4，由函数f(x)x3mx24x3在区间1,2上是增函数，可得x2mx40在区间1,2上恒成立，可得mx，又x24，当且仅当x2时取等号，可得m4.4.已知函数f(x)是定义在区间(0，)上的可导函数，其导函数为f(x)，且满足xf(x)2f(x)0，则不等式的解集为_.答案x|2018x2013解析构造函数g(x)x2f(x)，x(0，)，则g(x)x2f(x)xf(x).当x0时，2f(x)xf(x)0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增.不等式，x20180，(x2018)2f(x2018)52f(5)，即g(x2018)g(5)，00，方程6x22x10中的200恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.6.(2018淮安质检)若函数f(x)mx2(2m1)xlnx在x1处取得极小值，则实数m的取值范围是_.答案解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)mx2(2m1)xlnx，f(x)2mx(2m1)，若m0，f(x)，x1为极大值点，不合题意，m0.令f(x)0，解得x或x1，若f(x)在x1处取得极小值，则0.7.设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_.答案(，1)解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解.当x0时，ex1，aex0，两个切线方程分别为y(x1)2x1(xx1)，y(aln x21)(xx2)，化简得y2x1x1x，yxaln x2a1，两条切线为同一条.可得则a4x(ln x21)，令g(x)4x24x2ln x(x0)，则g(x)4x(12ln x)，所以g(x)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减，g(x)maxg()2e.所以a(0,2e.10.(2018全国)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_.答案解析f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)2(2cos2xcosx1)2(2cosx1)(cosx1).cosx10，当cosx时，f(x)0，f(x)单调递减；当cosx时，f(x)0，f(x)单调递增，当cosx时，f(x)取得最小值.又f(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，当sinx时，f(x)取得最小值，即f(x)min2.11.若在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立，则a的取值范围是_.答案(，1)解析2x(3xa)1可化为a2x3x，则在区间0,1上存在实数x使2x(3xa)1成立等价于a(2x3x)max，而y2x3x在0,1上单调递减，y2x3x在0,1上的最大值为2001，a1，故a的取值范围是(，1).12.已知函数f(x)exx，若f(x)0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为_.答案解析f(x)0，即exx0，即kx正整数解只有一个，设g(x)，所以g(x)，当x0，当x1时，g(x)0，所以g(x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)，由图可知，kx的唯一一个正整数解只能是1，所以有解得k，所以实数k的取值范围为.
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