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高考达标检测（二十七） 简单的线性规划问题一、选择题1若O为坐标原点，实数x，y满足条件在可行域内任取一点P(x，y)，则|OP|的最小值为()A1B.C. D.解析：选C作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知|OP|的最小值为点O到直线xy1的距离，所以|OP|的最小值为.2(2017山东高考)已知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是()A0B2C5D6解析：选C作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y进行平移，显然当该直线过点A时z取得最大值，由解得即A(3,4)，所以zmax385.3已知x，y满足则z8xy的最小值为()A1 B.C. D.解析：选D不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z8xy23xy，欲使z最小，只需使3xy最小即可由图知当x1，y2时，3xy的值最小，且3125，此时23xy最小，最小值为.4(2017浙江高考)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0,6 B0,4C6，) D4，)解析：选D作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zx2y，得yx，是直线yx在y轴上的截距，根据图形知，当直线yx过A点时，取得最小值由得x2，y1，即A(2,1)，此时，z4，zxy的取值范围是4，)5已知不等式组表示的平面区域为M，若直线ykx3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A画出可行域如图中阴影部分所示，因为直线ykx3k过定点(3,0)，结合图形可知该直线的斜率的最大值为k0，最小值为k，所以k的取值范围是.6设变量x，y满足约束条件则S的取值范围是()A. B.C. D1,2解析：选C作出可行域为含边界的三角形区域(如图)，顶点分别是A(1,0)，B(0,1)，C(2，2)S表示可行域内的点与定点P(1，1)连线的斜率，则SminkPA，SmaxkPB2.7(2018大连期末)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2y214相交于A，B两点，则|AB|的最小值是()A2 B4C. D2解析：选B根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P到圆心的距离为d，求最短弦长，等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d，此时|AB|min24.8已知点M(a，b)与点N(0，1)在直线3x4y50的两侧，给出以下结论：3a4b50；当a0时，ab有最小值，无最大值；a2b21；当a0且a1时，的取值范围是.正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B因为点M(a，b)与点N(0，1)在直线3x4y50的两侧，所以9(3a4b5)0，即3a4b50，故错误；作出可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a0时，由图知， ab无最小值，也无最大值，故错误；3a4b50)的最大距离为2，则实数k_.解析：题中的不等式组表示的平面区域是以(0,1)，(0,3)，(1,2)为顶点的三角形区域(如图所示)，易得平面区域内的点(0,3)到直线ykx1(k0)的距离最大，所以2，又k0，得k1.答案：112设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为10，则a2b2的最小值为_解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知当直线zaxby过点A(4,6)时，取得最大值10，即2a3b5，而a2b2表示原点(0,0)与直线2a3b5上的点的距离的平方，显然a2b2的最小值为原点到直线2a3b5的距离的平方，又原点到直线2a3b5的距离d，所以a2b2的最小值为.答案：三、解答题13(2017天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(6,3)所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多14投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元(1)写出x，y满足的约束条件；(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)解：(1)x，y满足约束条件为(2)设目标函数z0.5x0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：0.5x0.4y0，当经过点M时，z0.5x0.4y取得最大值解方程组得x4，y6.此时zmax0.540.464.4(万元)1已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取得最小值1时，(a1)2(b1)2的最小值为()A. B.C. D.解析：选D作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，把zaxby(a0，b0)化为yx，由图可知，当直线yx过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1，联立解得A(3,1)，所以3ab1，因为a0，b0，所以0a.则(a1)2(b1)2(a1)29a210a22a1102.则当a时，(a1)2(b1)2取得最小值，最小值为.2在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2y21的一条直径的两端点，则PMPN的最小值为()A4 B21C4 D7解析：选D因为M，N是圆x2y21的一条直径的两端点，所以可设M(a，b)，N(a，b)，则a2b21.设P(x，y)，则(ax，by)(ax，by)x2a2y2b2x2y21，设zx2y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示则原点到直线xy40的距离最小，此时d2，则zd28，则Px2y21817.
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