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5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示【真题典例】挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.平面向量的基本概念与线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义2017天津,13向量的线性运算和几何意义平面向量的数量积2009天津,15两个向量相等的含义利用数量积求两向量的夹角2.向量共线问题掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义2016课标,13向量平行向量的坐标运算3.平面向量基本定理了解平面向量基本定理及其意义2014福建,8平面向量基本定理平面向量的坐标表示4.平面向量的坐标运算1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加法、减法和数乘运算3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件2012天津,8平面向量的坐标运算利用坐标表示向量的模分析解读高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.破考点【考点集训】考点一平面向量的基本概念与线性运算1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()A.513,-1213B.-513,1213C.1213,-513D.-1213,513答案A2.在ABC中,G为重心,记a=AB,b=AC,则CG=()A.13a-23bB.13a+23bC.23a-13bD.23a+13b答案A3.M是ABC所在平面内一点,23MB+MA+MC=0,D为AC中点,则|MD|BM|的值为()A.12B.13C.1D.2答案B考点二向量共线问题4.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若ABa,则点B的坐标为.答案(-3,-6)考点三平面向量基本定理5.D是ABC所在平面内一点,AD=AB+AC(,R),则“01,00,y0),则4x+y的最小值为.答案94方法3平面向量的坐标运算的解题策略6.已知向量a=(1,2),b=(0,-2),c=(-1,),若(2a-b)c,则实数=()A.-3B.13C.1D.3答案A7.已知O为坐标原点,向量OA=(2,3),OB=(4,-1),且AP=3PB,则|OP|=.答案72过专题【五年高考】A组自主命题天津卷题组1.(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.答案3112.(2012天津,8,5分)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|PA+3PB|的最小值为.答案53.(2009天津,15,4分)在四边形ABCD中,AB=DC=(1,1),1|BA|BA+1|BC|BC=3|BD|BD,则四边形ABCD的面积为.答案3B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一平面向量的基本概念与线性运算1.(2018课标,6,5分)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=()A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34AC答案A2.(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点,BC=3CD,则()A.AD=-13AB+43ACB.AD=13AB-43ACC.AD=43AB+13ACD.AD=43AB-13AC答案A3.(2014课标,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若AO=12(AB+AC),则AB与AC的夹角为.答案90考点二向量共线问题1.(2015四川,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=()A.2B.3C.4D.6答案B2.(2017山东,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,).若ab,则=.答案-33.(2016课标,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=.答案-6考点三平面向量基本定理1.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案B2.(2015课标,13,5分)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案12考点四平面向量的坐标运算1.(2017课标,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2答案A2.(2016课标,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()A.-8B.-6C.6D.8答案D3.(2014广东,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,0)D.(4,3)答案B4.(2018课标,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案125.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为.答案-3C组教师专用题组1.(2015安徽,8,5分)ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是()A.|b|=1B.abC.ab=1D.(4a+b)BC答案D2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2答案B3.(2014课标,6,5分)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.ADB.12ADC.BCD.12BC答案A4.(2014福建文,10,5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案D【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届天津耀华中学统练(2),2)已知A、B、C、D是平面内任意四点,现给出下列式子:AB+CD=BC+DA;AC+BD=BC+AD;AC-BD=DC+AB.其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案C2.(2017天津河北一模,7)若O为ABC所在平面内的任一点,且满足(OB-OC)(OB+OC-2OA)=0,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形答案B3.(2018天津和平一模,7)如图,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADDC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若CA=CE+DB(,R),则+的值为()A.65B.85C.2D.83答案B4.(2018天津河东一模,7)设P是ABC边BC上的任意一点,Q为AP的中点,若AQ=AB+AC(,R),则+=()A.14B.13C.12D.1答案C5.(2018天津和平二模,7)如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=12EC,BF=2FC,G为线段EF上的一点,且EG=12GF,AG=AB+AD(,R),则的值为()A.25B.12C.47D.58答案D二、填空题(每小题5分,共45分)6.(2018天津河西二模,13)在ABC中,A=60,|AC|=2,点D在边AB上,点E在边BC上,AD=12AB,BE=23BC,若DEBC=83,则|AB|=.答案57.(2019届天津第二十中学第三次月考,7)已知正方形ABCD的边长为2,E为BC的中点,DF=2FC,则AEBF=.答案238.(2018天津部分区县二模,14)在ABC中,AB=62,AC=6,BAC=4,点D满足BD=23BC,点E在线段AD上运动(不包括端点),若AE=AB+AC(,R),则3+13取得最小值时,AE的模为.答案259.(2018天津南开中学第六次月考,13)在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,BAD=120,P是平行四边形ABCD内的一点,且AP=1,若AP=xAB+yAD,则3x+2y的最大值为.答案210.(2018天津耀华中学一模,13)如图,在等腰梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=12AB=1,F是BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DE上变动,E为圆弧DE与AB的交点,若AP=ED+AF,其中,R,则2+的取值范围是.答案0,211.(2017天津河东二模,14)如图,在ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足AMMC=MPPB=2,若|AB|=2,|AC|=3,BAC=120,则APBC的值为.答案-212.(2017天津实验中学热身训练,13)已知ABC的外接圆圆心为P,若点P满足AP=25(AB+AC),则cosBAC=.答案1413.(2017天津新华中学模拟,14)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DADB=DBDC=DCDA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是.答案49414.(2017天津耀华中学二模,14)已知函数f(x)=|MP-xMN|(xR),其中MN是半径为4的圆O的一条弦,O为原点,P为单位圆O上的点,设函数f(x)的最小值为t,当点P在单位圆上运动时,t的最大值为3,则线段MN的长度为.答案43三、解答题(共10分)15.(2019届天津河西期中,19)设平面内的向量OA=(-1,-3),OB=(5,3),OM=(2,2),点P在直线OM上,且PAPB=-16,其中O为坐标原点.(1)求OP的坐标;(2)求APB的余弦值;(3)设tR,求|OA+tOP|的最小值.解析(1)设P(x,y),由点P在直线OM上,可知OP与OM共线,而OM=(2,2),2x-2y=0,即x=y,P(x,x).PA=OA-OP=(-1-x,-3-x),PB=OB-OP=(5-x,3-x),PAPB=(-1-x)(5-x)+(-3-x)(3-x)=2x2-4x-14=-16x=1,P(1,1),则OP=(1,1).(2)由(1)得P(1,1),PA=(-2,-4),PB=(4,2),|PA|=(-2)2+(-4)2=25,|PB|=42+22=25,cos=PAPB|PA|PB|=-45.APB的余弦值为-45.(3)OA+tOP=(-1,-3)+(t,t)=(t-1,t-3),|OA+tOP|=(t-1)2+(t-3)2=2t2-8t+10=2(t-2)2+2.当t=2时,|OA+tOP|min=2.
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