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解答题满分练21.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD底面ABCD, PAPC；(1)求证：平面PAB平面PCD；(2)若过点B的直线l垂直于平面PCD，求证：l平面PAD. 证明(1)因为ABCD为矩形，所以CDAD，因为侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD, CD平面ABCD，所以CD平面PAD，因为AP平面PAD，所以PACD，又PAPC, PCCDC, CD，PC平面PCD，所以AP平面PCD，又AP平面PAB，所以平面PAB平面PCD.(2)由(1)知，AP平面PCD，又l平面PCD，所以lPA，又l平面PAD, AP平面PAD，所以l平面PAD.2.在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足0 .(1)求角B的值；(2)若c2，AC边上的中线BD，求ABC的面积.解(1)00, 所以cosB(2sin Asin C)sin BcosC0，所以2sin AcosBcosBsinCsin BcosC0，所以2sin AcosBsin(BC)0，所以sin A(2cos B1)0，因为sin A0，所以cosB.所以B.(2)延长BD到E，使BDDE，易知四边形AECB为平行四边形，在BEC中，EC2，BE2BD，因为ABC，所以BCE，由余弦定理得，BE2EC2BC22ECBCcosBCE，即322a222acos ，即a22a10，解得a1，SABCacsinB12.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为Slh)解(1)设抛物线的方程为yax2(a0)，则抛物线过点，代入抛物线方程得a，令y6，解得x20，则隧道设计的拱宽l是40米.(2)抛物线最大拱高为h米，h6，抛物线过点，代入抛物线方程得a.令yh，则x2h，解得x2，则2，h，h6，6，即20l40，Slhl，20l40，S，当20l20时，S0；当200)，则g(x)2x1，所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则g(x)ming(1)k.因此，欲使不等式f(x)x23xk有大于0的实数解，则k0.即实数k的取值范围是(，0.(3)对于任意的x1，)，f(x)(m2)x恒成立，等价于lnxm0在x1，)上恒成立.设h(x)lnxm(x1)，则h(x)m.若m0，则h(x)0，h(x)在1，)上为增函数，h(x)h(1)0，这与题设h(x)0矛盾.若m0，方程mx2xm0的判别式14m2.(i)当0，即m时，h(x)0，所以h(x)在1，)上单调递减，所以h(x)h(1)0，即不等式成立；(ii)当0m时，设方程mx2xm0的两根为x1，x2(x10，h(x)单调递增，h(x)h(1)0，与题设矛盾.综上所述，m.即实数m的取值范围是.6.(2018江苏泰州中学模拟)已知数列，Sn为数列的前n项和，向量x(1，bn)，y(an1，Sn)，xy.(1)若bn2，求数列的通项公式；(2)若bn，a20.证明：数列为等差数列；设数列满足cn，问是否存在正整数l，m(lm，且l2，m2)，使得cl，c2，cm成等比数列？若存在，求出l，m的值；若不存在，请说明理由.(1)解由x(1，bn)，y(an1，Sn)，xy，得：Sn(an1)bn，若bn2，则Sn2an2.当n1时，S12a12，即a12，又Sn12an12，得：Sn1Sn2an12an，即an12an，所以2，又a12，所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以an2n.(2)证明因为bn，则2Snnann，当n1时，2S1a11，即a11，又2Sn1(n1)an1(n1)，得：2Sn12Sn(n1)an1nan1，即(n1)an1nan10，又nan2(n1)an110，得：nan22nan1nan0，即an2an2an1，所以数列为等差数列.解因为a11，a20，数列an为等差数列，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.an1(n1)1n2，所以cn，假设存在正整数l，m(lm，且l2，m2)，使得cl，c2，cm成等比数列，即cclcm，可得，整理得5lm4l4m4，即l，由1，得1m8, 一一代入检验或或或或或或或又l，m为正整数，lm，且l2，m2，所以存在l1，m8符合题意.
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