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第32练矩阵与变换、坐标系与参数方程明晰考情1.命题角度：常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用.2.题目难度：中档难度.考点一线性变换、二阶矩阵及其求法方法技巧线性变换问题一般是设变换T：，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.1.已知变换矩阵A：平面上的点P(2，1)，Q(1,2)分别变换成点P1(3，4)，Q1(0,5)，求变换矩阵A.解设所求的变换矩阵A，依题意，可得，即解得所以所求的变换矩阵A.2.已知M，N，求二阶矩阵X，使得MXN.解设X，由题意有，根据矩阵乘法法则有解得X.3.已知曲线C1：x2y21，对它先作矩阵A对应的变换，再作矩阵B对应的变换，得到曲线C2：y21，求实数m的值.解BA，设P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P(x，y)则，则即又点P在曲线C1上，则y21，所以m21，所以m1.4.(2017江苏)已知矩阵A，B.(1)求AB；(2)若曲线C1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.解(1)因为A，B，所以AB.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，则，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线上C1上，所以1，从而1，即x2y28.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28.考点二逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量方法技巧1.由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.2.求矩阵M就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.5.已知矩阵A.(1)求A的逆矩阵A1；(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3,1)，求点P的坐标.解(1)因为A，又221310，所以A可逆，从而A1.(2)设P(x，y)，则，所以A1，因此，点P的坐标为(3，1).6.求矩阵A的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.解矩阵A的特征多项式为f()，令f()0，得25240，所以18，23为矩阵A的两个特征值.当18时，解相应线性方程组可任取一解，得8的一个特征向量1.当23时，解相应线性方程组可任取一解，得3的一个特征向量2.7.(2018无锡调研)已知二阶矩阵A对应的变换将点M(1,1)变换成M(3,3)，将点N(1,2)变换成N(3,0).(1)求矩阵A的逆矩阵A1；(2)若向量，计算A3.解(1)设A，则解得a1，b2，c2，d1，所以A，所以A1.(2)矩阵A的特征多项式为f()(1)24223，令f()0，解得13，21，从而求得对应的一个特征向量分别为1，2.令m1n2，求得m3，n2，所以A3A3(3122)3(A31)2(A32)3(1)2(2)3332(1)3.8.(2018如皋调研)已知矩阵A属于特征值的一个特征向量为.(1)求实数b，的值；(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x22y22，求曲线C的方程.解(1)由题意得A，即，解得b0，2.(2)由(1)知，矩阵A.设曲线C上的一点P，在矩阵A的作用下得到点P(x，y).，所以将上式代入方程x22y22，得(2x)22(x3y)22，整理得3x29y26xy10.所以曲线C的方程为3x29y26xy10.考点三曲线的极坐标方程方法技巧曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.9.在极坐标系中，设直线与曲线210cos40相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标.解方法一将直线化为直角坐标方程，得yx，将曲线210cos 40化为直角坐标方程，得x2y210x40，联立并消去y，得2x25x20，解得x1，x22，所以AB中点的横坐标为，纵坐标为，化为极坐标为.方法二联立直线l与曲线C的极坐标方程，得消去，得2540，解得11，24，所以线段AB中点的极坐标为，即.10.(2018宿迁质检)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点O重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为22sin30.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求直线l被曲线C截得线段的长.解(1)直线l的普通方程为yx1，曲线C的直角坐标方程为x2(y1)24.(2)曲线C表示以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线l的距离d1，故直线l被曲线C截得的线段长为22.11.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos2sin10.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线cos0距离最大的点P的直角坐标.解(1)因为2x2y2，cos x，sin y，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y10，0,2).(2)直线方程为xy0，圆C的标准方程为(x1)2(y)24，所以设圆上点P的坐标为(12cos ，2sin )，0,2)，则d，所以当cos1，即时距离最大，此时点P的坐标为(2，).12.在极坐标系中，直线C1的极坐标方程为sin2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上(O为极点)，且满足OPOM4，记点P的轨迹为C2，求曲线C2上的点到直线C3：(t为参数)的距离的最大值.解设点P(，)，M(1，)，依题意得1sin 2，14，消去1，得2sin ，故曲线C2的极坐标方程为2sin (0).化为直角坐标方程，得C2：x2(y1)21，是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆.又直线C3的普通方程为xy2，故圆心到直线C3的距离d，故曲线C2上的点到直线C3的距离的最大值为1.考点四参数方程方法技巧过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是有向线段P0P的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2).13.(2018苏州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(其中t为参数).在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为4cos.(1)分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若直线l与圆C相切，求实数a的值.解(1)直线l的普通方程是2xya20，圆C的直角坐标方程是(x2)2y24.(2)由(1)知圆心为C(2,0)，半径r2，设圆心到直线的距离为d，因为直线与圆相切，所以d2，解得a22.14.(2018江苏省南京外国语学校质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数，m为常数).以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos.若直线l与圆C有两个公共点，求实数m的取值范围.解圆C的普通方程为(xm)2y24.直线l的极坐标方程化为，即xy，化简得xy20.因为圆C的圆心为C(m,0)，半径为2，圆心C到直线l的距离d，所以d2，解得22m22.15.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，0，)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos.(1)若直线l与圆C相切，求的值；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t12t2时，求AB的长.解(1)圆C的直角坐标方程为(x2)2y24，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得(tcos 4)2(tsin )24，即t28tcos 120，因为直线l与圆C相切，所以(8cos )24120，所以cos 或cos ，0，)，所以或.(2)将代入圆C的直角坐标方程(x2)2y24，得t28tcos 120，因为t1,2，所以又t12t2，所以64cos254，所以AB.16.(2018如皋调研)已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为(为参数)，以Ox轴为极轴，O为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N是以点为圆心，且过点的圆.(1)求圆M的普通方程及圆N的直角坐标方程；(2)求圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值.解(1)将方程消去参数，可得224，所以圆M的方程为224.点和点的直角坐标分别为，所以圆N的圆心为，半径为r1，故圆N的直角坐标方程为221.(2)由(1)得圆M，N的圆心距为MN4，所以圆M上任一点P与圆N上任一点之间距离的最小值为dminMN3431.1.已知矩阵M，其中aR，若点P(1，2)在矩阵M的变换下得到点P(4,0).(1)求实数a的值；(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.解(1)由，得22a4a3.(2)由(1)知M，则矩阵M的特征多项式为f()(2)(1)6234.令f()0，得矩阵M的特征值为1与4.当1时，xy0，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为；当4时，2x3y0.矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.2.已知矩阵A(a为实数).(1)若矩阵A存在逆矩阵，求实数a的取值范围；(2)若直线l：xy40在矩阵A对应的变换作用下变为直线l：xy2a0，求实数a的值；(3)在(2)的条件下，求A5.解(1)a210，a1.(2)设l上任一点在A的变换作用下变为点，则，所以所以xy2aaxyxay2axy2a0，所以a2.(3)A2，A4，A5.3.平面直角坐标系xOy中，已知直线(l为参数)与曲线(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长.解直线的普通方程为2x2y30，曲线的普通方程为y28x.解方程组得或取A，B，得AB4.4.(2018江苏邗江中学调研)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)写出圆C的极坐标方程及圆心C的极坐标；(2)直线l的极坐标方程为(R)与圆C交于M，N两点，求CMN的面积.解(1)极坐标(，)与直角坐标(x，y)的对应关系为所以根据sin2cos21，消元得(cos )2(sin 1)24，故得圆C的极坐标方程为4sin.因为圆心C的直角坐标为(，1)，所以极坐标为.(2)联立得交点极坐标M(0,0)，N，所以MN2，MC2，所以CMN的面积S22sin .
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