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第19练直线与圆明晰考情1.命题角度：求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度.考点一直线的方程方法技巧(1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯.(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.1.设aR，则“a2”是直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析当a2时，l1：2x2y10，l2：xy40，显然l1l2.当l1l2时，由a(a1)2且a18，得a1或a2，所以a2是l1l2的充分不必要条件.2.已知两点A(3,2)和B(1,4)到直线mxy30的距离相等，则m的值为()A.0或B.或6C.或D.0或答案B解析依题意，得.所以|3m5|m7|，所以(3m5)2(m7)2，所以8m244m240，所以2m211m60，所以m或m6.3.过点P(2,3)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则SOAB的最小值为_.答案12解析依题意，设直线l的方程为1(a0，b0).点P(2,3)在直线l上，1，则ab3a2b2，故ab24，当且仅当3a2b(即a4，b6)时取等号.因此SAOBab12，即SAOB的最小值为12.4.已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是_.答案x2y30解析当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.A(1,1)，B(0，1)，kAB2，两平行直线的斜率k.直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.考点二圆的方程方法技巧(1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程.5.已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的标准方程为()A.(x1)2(y1)22B.(x1)2(y1)22C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22答案B解析设圆心坐标为(a，a)，则，即|a|a2|，解得a1，故圆心坐标为(1，1)，半径r，故圆的标准方程为(x1)2(y1)22.6.圆心在曲线y(x0)上，且与直线2xy10相切的面积最小的圆的方程为()A.(x1)2(y2)25B.(x2)2(y1)25C.(x1)2(y2)225D.(x2)2(y1)225答案A解析y的导数y，令2，得x1(舍负)，平行于直线2xy10的曲线y(x0)的切线的切点的横坐标为1，代入曲线方程，得切点坐标为(1,2)，以该点为圆心且与直线2xy10相切的圆的面积最小，此时圆的半径为.故所求圆的方程为(x1)2(y2)25.7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_.答案(x2)2y29解析圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0.则圆心C到直线2xy0的距离d，解得a2.圆C的半径r|CM|3，因此圆C的方程为(x2)2y29.8.圆心在直线x2y0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2，则圆C的标准方程为_.答案 (x2)2(y1)24解析设圆心(a0)，半径为a.由勾股定理得()22a2，解得a2.所以圆心为(2,1)，半径为2，所以圆C的标准方程为(x2)2(y1)24.考点三点、直线、圆的位置关系方法技巧(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.9.过点P(3,1)，Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2y21相切，则a的值为()A.B.C.D.答案A解析点P(3,1)关于x轴的对称点为P(3，1)，由题意得直线PQ与圆x2y21相切，因为PQ：x(a3)ya0，所以由1，得a.10.已知圆M：x2y22ay0截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)221的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离答案B解析化简得圆M：x2(ya)2a2，即圆心M(0，a)，r1a，所以M到直线xy0的距离d，所以22a2，解得a2(舍负)，所以M(0,2)，r12，又N(1,1)，r21，所以|MN|，所以|r1r2|MN|r1r2|，故两圆相交.11.已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为_.答案54解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，由点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，得(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(13)54.12.在平面直角坐标系xOy中，以点A(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.答案(x1)2y22解析直线mxy2m10恒过定点P(2，1)，当AP与直线mxy2m10垂直，即点P(2，1)为切点时，圆的半径最大，所以半径最大的圆的半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2y22.1.直线xcosy20的倾斜角的取值范围是_.答案解析设直线的斜率为k，则ktancos.因为1cos1，所以cos.所以tan.当0tan时，0；当tan0时，.故此直线的倾斜角的取值范围是.2.已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2y22x4y50截得的弦长为6，则直线l的方程为_.答案x20或3x4y100解析当l斜率不存在时，符合题意；当l斜率存在时，设l：yk(x2)4，C：(x1)2(y2)210.由题意可得2210，解得k，此时l：3x4y100.综上，直线l的方程是x20或3x4y100.3.由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为_.答案解析如图所示，设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线yx1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线yx1的距离为d，则d2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|.解题秘籍(1)直线倾斜角的范围是0，)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围.(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形.(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系.1.已知命题p：“m1”，命题q：“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”，则命题p是命题q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”的充要条件是11(1)m20m1.命题p是命题q的充分不必要条件.2.两条平行线l1，l2分别过点P(1,2)，Q(2，3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是()A.(5，) B.(0,5C.(，) D.(0，答案D解析当PQ与平行线l1，l2垂直时，|PQ|为平行线l1，l2间的距离的最大值，为，l1，l2之间距离的取值范围是(0，.故选D.3.过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50B.2xy70C.x2y50D.x2y70答案B解析依题意知，点(3,1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为，切线的斜率k2.故圆的切线方程为y12(x3)，即2xy70.4.若直线xym0被圆(x1)2y25截得的弦长为2，则m的值为()A.1B.3C.1或3D.2答案C解析圆(x1)2y25的圆心C(1,0)，半径r，又直线xym0被圆截得的弦长为2.圆心C到直线的距离d，m1或m3.5.已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.答案B解析设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，ABC外接圆的圆心为，圆心到原点的距离d.6.已知圆C：(x1)2y225，则过点P(2，1)的圆C的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是()A.10B.9C.10D.9答案C解析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC|，最短弦的长为222，故所求四边形的面积S10210.7.已知圆的方程为x2y24x6y110，直线l：xyt0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为()A.(2,4)(6,8) B.(2.46,8)C.(2,4) D.(6,8)答案A解析把x2y24x6y110变形为(x2)2(y3)22，所以圆心坐标为(2,3)，半径为，则，解得2t4或6t8.8.(2018全国)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8C.，3 D.2，3答案A解析设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6，ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,6.9.(2018全国)直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_.答案2解析由x2y22y30，得x2(y1)24.圆心C(0，1)，半径r2.圆心C(0，1)到直线xy10的距离d，|AB|222.10.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y28x150，若直线ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_.答案解析圆C的标准方程为(x4)2y21，圆心为(4,0).由题意知，(4,0)到kxy20的距离应不大于2，即2.整理得3k24k0，解得0k.故k的最大值是.11.已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为坐标原点，则的最大值为_.答案6解析方法一由题意知，(2,0)，令P(cos，sin)，则(cos2，sin).(2,0)(cos2，sin)2cos46，故的最大值为6.方法二由题意知，(2,0)，令P(x，y)，1x1，则(2,0)(x2，y)2x46，故的最大值为6.12.已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为_.答案xy30解析圆C的标准方程为(x4)2(y1)29，圆C的圆心C(4,1)，半径r3.又直线l：ya(x3)过定点P(3,0)，则当直线ya(x3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此akCPa1，a1.故所求直线l的方程为y(x3)，即xy30.
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