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第13讲 变化率与导数,导数的运算学习目标学习疑问 学习建议 【相关知识点回顾】1.导数的概念(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)或y,即f(x0)=.(2)导数的几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点处的.相应地,切线方程为.(3)函数f(x)的导函数:称函数f(x)=为f(x)的导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=C(C为常数)f(x)=f(x)=x(Q)f(x)=f(x)=sin xf(x)=f(x)=cos xf(x)=f(x)=exf(x)=f(x)=ax(a0,a1)f(x)=f(x)=ln xf(x)=f(x)=logax(a0,a1)f(x)=3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)f(x)g(x)=;(3)=(g(x)0).题组一常识题1.教材改编 某物体相对水平面的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系是h(t)=-t2+6t+10,则该物体在3t4这段时间内的平均速度为m/s.2.教材改编 已知函数f(x)=5+3x-2x2,且f(a)=5,则a=.3.教材改编 曲线y=2x3-3x+5在x=-1处的切线的斜率为.4.教材改编 函数y=的图像在其极值点处的切线方程为.题组二常错题索引:对导数的概念理解不清;导数运算法则的运用不正确.5.若函数f(x)=4x3+a2+a,则f(x)=.6.函数y=的导函数为.7.已知函数f(x)=ax3-x+2的图像在点(1,f(1)处的切线过点(2,6),则 a=.【预学能掌握的内容】【探究点一】导数的运算合作探究例1 .分别求下列函数的导数:(1)y=exln x; (2)y=x; (3)y=x-sincos; (4)y=.课堂检测1.求下列函数的导数:(1)y=x2sin x; (2)y=; (3)y=xsin2x+cos.总结反思 求导时一般对函数式先化简再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,常用求导技巧有:(1)连乘形式:先展开化为多项式的形式,再求导;(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;(5)三角形式:先利用三角函数公式化为和或差的形式,再求导.【探究点二】导数的几何意义考向1求切线方程典例解析例2.（1）函数f(x)=x+的图像在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为() A. B. C. D. (2)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.课堂检测2.【考向1】曲线y=xsin x在点P(,0)处的切线方程是()A. y=-x+2 B. y=x+ 2C. y=-x-2 D. y=x-2总结反思 求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线,则表明点P是切点,只需求出f(x0),然后即可利用点斜式写出切线方程.考向2求切点坐标例3.(1)曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为()A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)或(-1,3) D. (1,-3)(2)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.课堂检测3.【考向2】已知f(x)=aln x+x,曲线y=f(x)在x=a处的切线过原点,则a=() A. 1 B. e C. D. 0 总结反思 求曲线过点P的切线时,点P不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标满足的方程解出切点坐标,进而写出切线方程.考向3求参数的值例4.(1)直线y=x-b与曲线y=-x+ln x相切,则实数b的值为.(2)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.课堂检测4.【考向3】若函数f(x)=(x+m)ex(mR)的图像在点(1,f(1)处的切线斜率为2e,则实数m=.5.【考向3】若函数y=2x3+1与y=3x2-b的图像在一个公共点处的切线相同,则实数b=.6.【考向3】若曲线y=ln x+ax2-2x(a为常数)上不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是.总结反思 曲线、切线、切点之间有以下关系:切点处的导数是切线的斜率;切点在切线上;切点在曲线上.处理与切线有关的参数问题,通常根据以上关系列出方程,解出参数.
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