2019届高三数学上学期期终考前模拟试题.doc

2019届高三数学上学期期终考前模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，则( )A. B.C.D.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了xx1月至xx12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为( )A. B.C. D.5.函数的图像大致为( ) A. B. C.D.6.使展开式中含有常数项的的最小值是( )A. B. C. D.7.已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )A.B.C. D.8.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.9.如图1，已知正方体的棱长为，动点、分别在线段、上，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积为( )A. B.C. D.10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.B.C.D.11.设抛物线:与椭圆:交于两点，在椭圆位于抛物线上方的部分取一点，点为椭圆的右顶点，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D.12.已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为( )A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记为数列的前项和，若，则_.14.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为，则实数的值为_.15.已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是_.16.用组成数字不重复的六位数，满足不在左右两端，三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.（用数字填写答案）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.18.（本题满分12分）设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和为，其中.19.（本题满分12分）如图，在三棱锥中,.点分别为棱的中点,是线段的中点,.（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.20.（本题满分12分）某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3栏目1栏目2合计家长学生合计（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量，求的分布列和期望；（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由.0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中.）21.（本题满分12分）已知函数，.（）若函数有极值1，求的值；（）若函数在上为减函数，求的取值范围；（）证明：.22.（本题满分12分）抛物线:的焦点是:的顶点,过点的直线的斜率分别是，且,直线与交于，直线与交于.（）求抛物线的方程，并证明：分别是的中点，且直线过定点；（）求面积的最小值设面积分别为，求证：.数学答案一、选择题：1.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由题意，其对应的点坐标为，位于第二象限，故选B.2.已知集合，则( )A. B.C.D.【答案】C【解析】集合，而，所以，故选C.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了xx1月至xx12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由折线图，易知选项A错误，故选A.4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以为首项，为公比的等比数列，故第八个单音的频率为，故选D.5.函数的图象大致为( ) A. B. C.D.【答案】D【解答】由题意得，所以，所以为奇函数，故图象关于原点对称，故排除A；因为当从右趋向于0时，趋向于+，当趋向于+时，趋向于0，故排除BC，故选D.6.使展开式中含有常数项的的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】，令得，所以的最小值是5，故选C.7.已知是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )A.B.C. D.【答案】A【解析】由题知,故，解得，故选A.8.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得，得，所以，由，得的单调递减区间为，故选D.9. 如图1，已知正方体的棱长为，动点、分别在线段、上，当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由俯视图可知点和点重合，点和重合，为的中点，故其正视图为三角形，如右图，从而得其面积为.10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A.B.C.D.【答案】A【解析】假设，由三角形是直角三角形得，即，即，故区域的面积为，区域的面积为，区域的面积为，又由于总区域固定，所以，故选A.11.设抛物线:与椭圆:交于两点，在椭圆位于抛物线上方的部分取一点，点为椭圆的右顶点，若，则的取值范围是( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】易得，又因为，所以,设，所以，故选B.12.已知函数，其中是自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最小值为( )A.B.C.D.【答案】B【解析】因为函数，所以，其中，当时，在上是增函数，不可能恒成立，当时，由，得，所以时，单调递增；时，单调递减，所以当时，取最大值，又因为不等式恒成立，所以的最大值为0，所以，即，即，所以，令，则，令，则，由得，当时，是增函数，时，是减函数，所以当时，取最小值，因为时，时，所以当时，是减函数；当时，是增函数所以时，取最小值，所以的最小值为，即有的最小值为.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记为数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】由题意，当时，解得.当时，整理得，故是以为首项，为公比的等比数列，因此.14.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为，则实数的值为_.【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当0a1时，可行域为梯形ABCD；当a1时，可行域为CDE；当0a1时，直线经过点时，z取得最小值，所以，解得；当a1时，直线经过点时，z取得最小值1，此时不满足题意；综上，实数a的值为.15.已知向量，若对任意单位向量，均有，则的最大值是_.【答案】【解析】，即最大值为16.用组成数字不重复的六位数，满足不在左右两端，三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为_.（用数字填写答案）【答案】【解析】从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”,方法有种,先排3个奇数,有种,形成了4个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中,方法有种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有种.若1排在两端,1的排法有种;形成了3个空,将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中,方法有种,根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有种,故满足1不在左右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为种.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）在平面四边形中，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由题设知，所以.3分由题设知，所以.5分（2）由题设及（1）知，.7分在中，由余弦定理得：，故.10分18.（本题满分12分）设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和为，其中.【解析】（1），当时，两式相减，得：（）2分又，代入得，所以，3分所以数列是为首选，为公比的等比数列，4分所以， 6分（2）， 8分 10分解得，12分19.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，.点分别为棱的中点，是线段的中点，.（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.【解析】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则由题意得，（），.设，为平面BDE的法向量，则，即，不妨设，可得.又，可得，因为，所以. 4分（）易知是平面的一个法向量，设是平面的法向量，则，因为，所以，不妨设，可得，6分所以，于是，所以二面角的正弦值为.8分（）依题意，设，则，从而可得，由已知得，整理得，解得，所以，线段的长为.12分20.（本题满分12分）某中学数学组推出微信订阅号后，受到家长和学生们的关注，为了更好的为学生和家长提供帮助，我们在某时间段在线调查了60位更关注栏目1或栏目2（2选一）的群体身份样本得到如下列联表，已知在样本中关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，在关注栏目2中的家长与学生人数比为1:3栏目1栏目2合计家长学生合计（1）完成列联表，并根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”；（2） 如果把样本频率视为概率，随机回访两位关注者，更关注栏目1的人数记为随机变量，求的分布列和期望；（3）由调查样本对两个栏目的关注度，请你为数学组教师提供建议应该更侧重充实哪个栏目的内容，并简要说明理由.0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中.）【解析】（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以，列联表如图栏目1栏目2合计家长25530学生151530合计4020602分，4分所以能有99%的把握认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”. 5分（2）的取值为0,1,2，由题意，6分所以，分布列如下0128分的期望为， 10分（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，即关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容. 12分21.（本题满分12分）已知函数，.（）若函数有极值1，求的值；（）若函数在上为减函数，求的取值范围；（）证明：.【解析】（），易得定义域为，2分所以当时，在上单调递减，无极值， 3分当时，由得，从而在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值为，解得， 4分（）由题意，5分因为在上为减函数，所以在恒成立，又因为时，所以在上恒成立，6分设，则，所以在区间上为减函数，故所求的范围是：.8分（）由（）在上为减函数，取有, 所以，即，即, 9分取，显然，则，10分所以，得证. 12分22.（本题满分12分）抛物线:的焦点是:的顶点,过点的直线的斜率分别是，且,直线与交于，直线与交于.（）求抛物线的方程，并证明：分别是的中点，且直线过定点；（）求面积的最小值设面积分别为，求证：.【解析】（）因为的顶点,所以抛物线，1分直线，由,设，则，所以的中点为，同理的中点为，2分易知、满足方程，故由题意坐标即为、，从而可知分别是的中点，4分由上得，所以直线因为，所以，即，所以直线过定点, 6分（） 到直线的距离, 7分 ，8分 设,设，则，10分 所以，12分