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第11练空间几何体的表面积与体积明晰考情1.命题角度：空间几何体的表面积和体积，与球有关的组合体.2.题目难度：中档难度.考点一空间几何体的表面积方法技巧多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.1.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则S1S2_.答案32解析设球的直径为2R，则S1S2(2R22R2R)4R232.2.若圆柱的侧面积和体积的值都是12，则该圆柱的高为_.答案3解析设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则解得h3，r2，所以该圆柱的高为3.3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_.答案21解析S圆柱222aa2，S圆锥2aa2，S圆柱S圆锥21.4.(2018南通最后一卷)如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为，若正方形ABCD内接于底面圆O，则四棱锥PABCD的侧面积为_.答案解析设圆锥底面半径为r，则高为h2r，母线长为r，圆锥的侧面积为，rr，r2，设正方形边长为a，则2a24r2，ar，正四棱锥的斜高为r，正四棱锥的侧面积为4ar6r2.考点二空间几何体的体积方法技巧空间几何体的体积可以通过转换空间几何体的底面和高，以利于计算.5.(2018江苏南京金陵中学期末)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3cm，AA12cm，则三棱锥A1AB1D1的体积为_cm3.答案3解析根据题目条件，在长方体ABCDA1B1C1D1中，3323(cm3)，所以三棱锥A1AB1D1的体积为3 cm3.6.已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为_.答案12解析由题意得棱锥的高h2，所以V212.7.(2017江苏)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_.答案解析设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.8.已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V_cm3.答案1解析空间几何体为一正方体和一正四棱锥的组合体，显然，正方体的体积为1，正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为1，所以，棱锥的高为，所以，正四棱锥的体积为，即组合体的体积为1.考点三多面体与球要点重组(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r.(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长.(3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.9.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC60，则球O的表面积为_.答案16解析在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos603，AC2AB2BC2，即ABBC.又SA平面ABC，三棱锥SABC可补成分别以AB1，BC，SA2为长、宽、高的长方体，球O的直径为4，故球O的表面积为42216.10.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为_.答案解析由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是13.11.已知一个棱长为4的正方体，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是_.答案2解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，球的半径为2，球心O(2,2,2)，M(4,0,2)，N(0,2,4)，MN的中点坐标为(2,1,3)，球心到MN的距离为，所以该直线被正方体的外接球球面截在球内的线段长是22.12.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则此三棱柱的体积的最大值为_.答案1解析如图，设球心为O，三棱柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，底面正三角形的边长为a，则AO1aa.由已知得O1O2垂直于底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1，所以V三棱柱a22.令f(a)3a4a6(0a0；当a(，)时，f(a)0，所以函数f(a)在(0，)上单调递增，在(，)上单调递减.所以f(a)在a处取得极大值.因为函数f(a)在区间(0，)上有唯一的极值点，所以a也是最大值点.所以(V三棱柱)max1.1.正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为_.答案a2解析如图，在正三棱锥SABC中，过点S作SO平面ABC于点O，则O为ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h，在RtSMO中，ha，所以侧面积S3aaa2.2.(2018扬州检测)已知正四棱柱的底面边长为2cm，侧面的对角线长是cm，则这个正四棱柱的体积是_cm3.答案4解析设正四棱柱的高为h，正四棱柱的底面边长为2，侧面的对角线长是，解得h，这个正四棱柱的体积VSh44(cm3).3.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为_.答案解析设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，则V圆锥a2aa3.又R2a2(aR)2，所以Ra，故V球3a3，故其体积比值为.4.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_.答案36解析如图，连结OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径知，OASC，OBSC.又由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC知，OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3，S球表4r236.1.将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是_.答案解析等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2.旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体.圆锥的底面半径为2，高为2.几何体的体积V242.2.已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120且面积为3的扇形，则该圆锥的体积为_.答案解析设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则解得故h2，所以圆锥的体积Vr2h122.3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为_.答案1解析设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为42，所以三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1.4.(2018苏州调研)如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上、下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则_.答案解析设上、下圆锥的高分别为h1，h2，圆柱的底面圆的半径为r，圆柱的高为h，则.5.(2018江苏)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_.答案解析由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥2()21.6.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，四棱锥SABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为_.答案解析作如图所示的辅助线，其中O为球心，设OG1x，则OB1SO2x，由正方体的性质知，B1G1，则在RtOB1G1中，OBG1BOG，即(2x)22x2，解得x，所以球的半径ROB1，所以球的表面积为S4R2.7.如图，侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，则截面AEF的周长的最小值为_.答案6解析沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图，则AA即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，由余弦定理可得AA6.8.(2018泰州联考)已知正四棱锥底面正方形的边长为2，体积为，则此正四棱锥的侧棱长为_.答案解析设正四棱锥的高为h，则由题意得22h，解得h1.又正四棱锥底面正方形的对角线长为2，正四棱锥的侧棱长为.9.已知在三棱锥ABCD中，ABACBC2，BDCD，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的投影恰好为DE的中点F，则该三棱锥外接球的表面积为_.答案解析连结BF，由题意，得BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心.点A在平面BCD上的投影恰好为DE的中点F，BF，AF.设球心O到平面BCD的距离为h，则1h22，解得h，外接球的半径r，故该三棱锥外接球的表面积为4.10.(2018江苏苏州实验中学期中)如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB的长为2，侧面积为8，则它的体积为_.答案4解析设正四棱锥的斜高为h，由题意得24h8，所以h2，则四棱锥的高H1，所以该四棱锥的体积VSH(2)214.11.(2018江苏姜堰中学等联考)正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积为_cm3.答案解析由题意知，弧长为82，即围成圆锥形容器底面周长为2，所以圆锥底面半径r1，可得圆锥高h3，所以容积Vr2h13(cm3).12.在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，AB3，BC4，AA15，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_.答案50解析ABCA1B1C1是直三棱柱，A1AAC，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A1C是球的直径，R.ABBC，AC5，A1C2525250.故该球的表面积为S4R242A1C250 .
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