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考点规范练25平面向量的应用基础巩固组1.已知a=(3,4),b=(sin ,cos ),若ab,则sin+cossin-cos=()A.7B.17C.-17D.-7答案D解析因为ab,所以3cos-4sin=0,即tan=34,所以sin+cossin-cos=tan+1tan-1=34+134-1=-7.故选D.2.已知|a|=2|b|,|b|0,且关于x的方程x2+|a|x-ab=0有两个相等的实数根,则向量a与b的夹角是()A.-6B.-3C.3D.23答案D解析设向量a与b的夹角为.由已知可得=|a|2+4ab=0,即4|b|2+42|b|2cos=0,cos=-12.又0,=23.3.在ABC中,已知向量AB与AC满足AB|AB|+AC|AC|BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形答案D解析设BAC的角平分线为AD,则AB|AB|+AC|AC|=AD.由已知得ADBC,ABC为等腰三角形.又AB|AB|AC|AC|=12,即cosA=12,A=60,ABC为等边三角形.故选D.4.在ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于点D,E,F分别为AB,AC的中点,若DEDF=6,则BC=()A.213B.10C.237D.14答案A解析令BC=a,则由条件可知,DEDF=12(DB+DA)12(DC+DA)=14(DBDC+DA2)=6.DA2-DB(BC-DB)=24,又在RtADC,RtADB中有BD2+DA2=64,(BC-BD)2+DA2=36,联立解得BC2=52.a=213.故选A.5.已知三个向量m=a,cosA2,n=b,cosB2,p=c,cosC2共线,其中a,b,c,A,B,C分别是ABC的三条边及相对三个角,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案B解析m=a,cosA2与n=b,cosB2共线,acosB2=bcosA2.由正弦定理,得sinAcosB2=sinBcosA2.sinA=2sinA2cosA2,sinB=2sinB2cosB2,2sinA2cosA2cosB2=2sinB2cosB2cosA2,化简,得sinA2=sinB2.又0A22,0B20,即a=3,即点A的横坐标为3.能力提升组9.已知函数f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则(BD+BE)(BE-CE)的值为()A.-1B.-12C.12D.2答案D解析f(x)=sin(x+)的周期为2.|BC|=1.D,E关于点C对称,C是线段DE的中点,(BD+BE)(BE-CE)=2BC(BE+EC)=2BC2=2.故选D.10.已知ABD是等边三角形,且AB+12AD=AC,|CD|=3,那么四边形ABCD的面积为()A.32B.323C.33D.923答案B解析如图所示,CD=AD-AC=12AD-AB,CD2=12AD-AB2,即3=14AD2+AB2-ADAB.|AD|=|AB|,54|AD|2-|AD|AB|cos60=3.|AD|=2.又BC=AC-AB=12AD,|BC|=12|AD|=1.|BC|2+|CD|2=|BD|2.BCCD.S四边形ABCD=SABD+SBCD=1222sin60+1213=323,故选B.11.设P为ABC所在平面上一点,且满足3PA+4PC=mAB(m0).若ABP的面积为8,则ABC的面积为()A.7B.8C.14D.16答案C解析由3PA+4PC=mAB得37PA+47PC=m7AB,设PD=37PA+47PC=m7AB,(如图所示)于是可得点D在边AC上,ABPD,且3AD=4DC,则|DA|CA|=47,由ABPD,所以SABP=SABD,所以SABD=8.又因为SABDSABC=|DA|CA|,所以8SABC=47,则SABC=14.12.在ABC中,D是BC中点,AD=m,BC=n,则ABAC等于()A.m2-14n2B.m2+14n2C.14m2+n2D.14m2-n2答案A解析由已知BD=DC=n2,DC=-DB,ABAC=(AD+DB)(AD+DC)=(AD+DB)(AD-DB)=AD2-DB2=m2-n22=m2-14n2.故选A.13.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=()A.5B.6C.7D.8答案D解析根据题意,过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2),与抛物线方程联立y=23(x+2),y2=4x,消元整理得,y2-6y+8=0,解得M(1,2),N(4,4),又F(1,0),所以FM=(0,2),FN=(3,4),则FMFN=03+24=8,故选D.14.已知ABC的面积是4,BAC=120,点P满足BP=3PC,过点P作边AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是M,N.则PMPN=.答案338解析不妨令ABC为等腰三角形,BAC=120,B=C=30,b=c.SABC=12bcsinA=4,b2=c2=163.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=483=163.BP=3PC,|PC|=14|BC|=a4,|BP|=34|BC|=3a4.过点P作边AB,AC所在直线的垂线,垂足分别是M,N,故|PM|=|BP|sinB=3a8,|PN|=|PC|sinC=a8.MPN=180-A=60,PMPN=|PM|PN|cos60=3a8a812=3a2128=338.故答案为338.15.在ABCD中,BAD=60,AB=1,AD=3,P为ABCD内一点,且AP=32,若AP=AB+AD(,R),则+3的最大值为.答案1解析AP=AB+AD,|AP|2=(AB+AD)2,即322=2|AB|2+2|AD|2+2ABAD.又AB=1,AD=3,BAD=60,ABAD=|AB|AD|cos60=32.34=2+32+3.(+3)2=34+334+322.(+3)21.+3的最大值为1,当且仅当=12,=36时取等号.16.(2017浙江高考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.答案425解析设向量a,b的夹角为,由余弦定理有:|a-b|=12+22-212cos=5-4cos,|a+b|=12+22-212cos(-)=5+4cos,则|a+b|+|a-b|=5+4cos+5-4cos,令y=5+4cos+5-4cos,则y2=10+225-16cos216,20,据此可得:(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4,即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.17.已知a=(2cos x,2sin x),b=sinx-6,cosx-6,函数f(x)=cos.(1)求函数f(x)零点;(2)若锐角三角形ABC的三内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且f(A)=1,求b+ca的取值范围.解(1)由条件可知,ab=2cosxsinx-6+2sinxcosx-6=2sin2x-6,f(x)=cos=ab|a|b|=2sin2x-62=sin2x-6.函数f(x)零点满足sin2x-6=0,由2x-6=k,kZ,解得x=k2+12,kZ.(2)由正弦定理得b+ca=sinB+sinCsinA,由(1)f(x)=sin2x-6,又f(A)=1,即sin2A-6=1,2A-6=2k+2,kZ,又A(0,),A=3,A+B+C=,C=23-B.代入上式化简得,b+ca=sinB+sin23-BsinA=32sinB+32cosBsinA=3sinB+6sinA=2sinB+6,又在锐角三角形ABC中,有0B2,0C=23-B2,6B2,3B+623,则有32sinB+61,即3b+ca2.18.已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且PC+12PQPC-12PQ=0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求PEPF的最值.解(1)设P(x,y),则Q(8,y).由PC+12PQPC-12PQ=0,得|PC|2-14|PQ|2=0,即(x-2)2+y2-14(x-8)2=0,化简得x216+y212=1.所以点P在椭圆上,其方程为x216+y212=1.(2)因PEPF=(NE-NP)(NF-NP)=(-NF-NP)(NF-NP)=NP2-NF2=NP2-1,P是椭圆x216+y212=1上的任一点,设P(x0,y0),则有x0216+y0212=1,即x02=16-4y023,又N(0,1),所以NP2=x02+(y0-1)2=-13y02-2y0+17=-13(y0+3)2+20.因y0-23,23,所以当y0=-3时,NP2取得最大值20,故PEPF的最大值19.当y0=23时,NP2取得最小值13-43(此时x0=0),故PEPF的最小值为12-43.
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