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课时分层作业 四十三 直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015北京高考)设,是两个不同的平面,m是直线且m,“m”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.当m时,可能,也可能与相交.当时,由m可知,m.因此,“m”是“”的必要而不充分条件.2.(2018惠州模拟)PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,C为圆上异于A,B两点的任一点,则下列关系不正确的是()A.PABCB.BC平面PACC.ACPBD.PCBC【解析】选C.由PA平面ACBPABC,故A不符合题意;由BCPA,BCAC,PAAC=A,可得BC平面PAC,所以BCPC,故B,D不符合题意;无法判断ACPB,故C符合题意.3.(2018石家庄模拟)已知平面,直线l,若,=l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直【解析】选D.垂直于平面的平面与平面重合、平行或相交,故A不正确;垂直于直线l的直线若在平面内,则一定垂直于平面,否则不一定,故B不正确;垂直于平面的平面可能垂直于直线l,故C不正确;由面面垂直的判定定理知,垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直,故D正确.【变式备选】已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面,则下列命题正确的是()A.若mn,n,则mB.若,=m,nm,则nC.若ln,mn,则lmD.若l,m且lm,则【解析】选D.若mn,n,则m或m,故A不正确;若,=m,nm,则n与相交或n或n,故B不正确;若ln,mn,则l与m相交、平行或异面,故C不正确;若l,m且lm,则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF相交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为()A.B.1C.D.2【解析】选A.设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可得A1B1=,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在RtDB1E中,B1E=.由面积相等得=x,得x=.【变式备选】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,AA1=AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的点,AB1,DF相交于点E,且AB1DF,则下列结论中不正确的是()A.CE与BC1异面且垂直B.AB1C1FC.C1DF是直角三角形D.DF的长为【解析】选D.对于A,因为BC1平面B1C1CB,CE平面B1C1CB,且C平面B1C1CB,所以CE与BC1是异面直线.因为AA1CC1,AA1平面ABC,所以CC1平面ABC,所以CC1AC.又ACBC,BCCC1=C,所以AC平面B1C1CB,又BC1平面B1C1CB,所以ACBC1.又四边形B1C1CB是正方形,连接B1C,所以BC1B1C,又B1CAC=C,所以BC1平面AB1C,因为CE平面AB1C,所以BC1CE,故A正确;对于B,因为C1A1=C1B1,D是A1B1的中点,所以C1DA1B1,由AA1底面A1B1C1可得AA1C1D,又A1B1AA1=A1,所以C1D平面ABB1A1,所以C1DAB1,又DFAB1,C1DDF=D,所以AB1平面C1DF,所以AB1C1F,故B正确;对于C,由C1D平面ABB1A1可得C1DDF,故C1DF是直角三角形,故C正确;对于D,因为AC=BC=AA1=1,ACB=90,所以A1B1=AB=,AB1=,所以DB1=,因为AB1DF,所以FDB1=AB1F=A1AB1,所以cosFDB1=cosA1AB1,即=,所以=,解得DF=,故D错误.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论对于任意给定的点E,存在点F,使得AFA1E;对于任意给定的点F,存在点E,使得AFA1E;对于任意给定的点G,存在点F,使得AFB1G;对于任意给定的点F,存在点G,使得AFB1G.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.由DE平面A1D,根据三垂线定理,对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AFA1E,所以正确;如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AFA1E,那么,又A1DAD1,可知过A有两条直线与A1D垂直,故错误;只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时,AFB1G,故错误;只有AF平面BB1D1D时,才正确,AF与平面BB1D1D不垂直,故错误.【变式备选】对于四面体A-BCD,有以下命题:若AB=AC=AD,则点A在底面BCD内的射影是BCD的外心;若ABCD,ACBD,则点A在底面BCD内的射影是BCD的内心;四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形;若四面体A-BCD的6条棱长都为1,则它的内切球的表面积为.其中正确的命题是()A.B.C.D.【解析】选D.由题设AB=AC=AD,故顶点A在底面内的射影是底面外心,故命题是正确的;四面体中的四个面中最多有四个直角三角形,如图1,正方体中的四面体A-BCD中有四个直角三角形,故命题是正确的;对于命题,如图2,尽管ABCD,ACBD,点A在底面BCD内的射影不一定是BCD的内心,即命题是错误的;若四面体的6条棱都为1,则它的体积为V=12=,又设内切球的半径为r,则V=4r=r=,则S=4r2=4=,即命题也是正确的.二、填空题(每小题5分,共15分)6.,是两个平面,AB,CD是两条线段,已知=EF,AB于B,CD于D,若增加一个条件,就能得出BDEF,现有下列条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与CD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的序号是_.【解析】由题意得,ABCD,所以A,B,C,D四点共面,:因为AC,EF,所以ACEF,又因为AB,EF,所以ABEF,因为ABAC=A,所以EF面ABDC,又因为BD面ABDC,所以BDEF,故正确;:由可知,若BDEF成立,则有EF面ABDC,则有EFAC成立,而AC与,所成角相等是无法得到EFAC的,故错误;:由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知EFAC,由可知正确;:仿照的分析过程可知错误.答案:7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的余弦值为_.【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意rl=3r2,即l=3r,母线与底面夹角为,则cos =.答案:8.如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是_.【解析】由题意知PA平面ABC,所以PABC.又ACBC,且PAAC=A,所以BC平面PAC,所以BCAF.因为AFPC,且BCPC=C,所以AF平面PBC,所以AFPB,又AEPB,AEAF=A,所以PB平面AEF,所以PBEF.故正确.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在三棱锥A BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD. (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.【解析】(1)因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又因为CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD.(2)由AB平面BCD,得ABBD.又AB=BD=1,所以SABD=12=.因为M是AD的中点,所以SABM=SABD=.根据(1)知,CD平面ABD,则三棱锥C-ABM的高h=CD=1,故VA-MBC=VC-ABM=SABMh=.10.(2018长沙模拟)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别为BB1,AC的中点. (1)求证:BF平面A1EC.(2)求证:平面A1EC 平面ACC1A1.【证明】(1)连接AC1交A1C于点O,连接OE,OF,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,所以OA=OC1,又因为点F为AC中点,所以OFCC1且OF=CC1,因为点E为BB1中点,所以BECC1且BE=CC1,所以BEOF且BE=OF,所以四边形BEOF是平行四边形,所以BFOE,又因为BF平面A1EC,OE平面A1EC,所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE,因为AB=CB,点F为AC中点,所以BFAC,所以OEAC.又因为AA1底面ABC,而BF底面ABC,所以AA1BF.由BFOE,得OEAA1,而AA1,AC平面ACC1A1,且AA1AC=A,所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC,所以平面A1EC平面ACC1A1.1.(5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是()A.若m,n,则mnB.若m,n,则mnC.若m,mn,则nD.若m,mn,则n【解析】选B.选项A.若m,n则m与n可能平行、相交、异面,故A错误;B.若m,n,则mn,显然成立;C.若m,mn,则n或n,故C错误;D.若m,mn,则n或n或n与相交.2.(5分)如图,在三棱锥D -ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BCDC.平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDED.平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE【解析】选C.因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理有DEAC,于是AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.3.(5分)(2018郴州模拟)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻转成A1DE(A1平面ABCD).若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在ADE翻转过程中,下列说法错误的是()A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B.异面直线BM与A1E所成角是定值C.一定存在某个位置,使DEMOD.三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【解析】选C.取CD的中点F,连接BF,MF,如图1,可知平面MBF平面A1DE,所以BM平面A1DE,所以A正确.取A1D中点G,可得EGBM,如图2,所以B正确.由题意可得点A关于直线DE的对称点为F,则DE平面A1AF,即过O与DE垂直的直线在平面A1AF内,而M不在平面A1AF内,故C错误.三棱锥A1-ADE外接球的球心即为O点,所以外接球半径为AD,故D正确.4.(12分)如图,菱形ABCD与四边形BDEF相交于BD,ABC=120,BF平面ABCD,DEBF,BF=2DE,AFFC,M为CF的中点,ACBD=G.(1)求证:GM平面CDE.(2)求证:平面ACE平面ACF.【证明】(1)取BC的中点N,连接GN,MN.因为G为菱形对角线的交点,所以G为BD的中点,所以GNCD,又因为M,N分别为FC,BC的中点,所以MNFB,又因为DEBF,所以DEMN,又MNGN=N,DECD=D,所以平面GMN平面CDE,又GM平面GMN,所以GM平面CDE.(2)连接GE,GF,因为四边形ABCD为菱形,所以AB=BC,又BF平面ABCD,所以AF=CF,因为AF=FC,所以FGAC.设菱形的边长为2,ABC=120,则GB=GD=1,GA=GC=,又因为AFFC,所以FG=GA=,则BF=,DE=,且BF平面ABCD,DEBF,得DE平面ABCD,在直角三角形GED中,GE=,又在直角梯形BDEF中,得EF=,从而EF2=GF2+GE2,所以FGGE,又ACGE=G,所以FG平面ACE,又FG平面ACF,所以平面ACE平面ACF.5.(13分)(2018温州模拟)如图,在正三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E分别是A1C,AB的中点.(1)求证:ED平面BB1C1C.(2)若AB=BB1,求证:A1B平面B1CE.【证明】(1)连接AC1,BC1,因为四边形AA1C1C是矩形,D是A1C的中点,所以D是AC1的中点.在ABC1中,因为D,E分别是AC1,AB的中点,所以DEBC1.又DE平面BB1C1C,BC1平面BB1C1C,所以ED平面BB1C1C.(2)因为ABC是正三角形,E是AB的中点,所以CEAB.又因为在正三棱柱A1B1C1-ABC中,平面ABC平面ABB1A1,平面ABC平面ABB1A1=AB,CE平面ABC,所以CE平面ABB1A1.又A1B平面ABB1A1,所以CEA1B.在矩形ABB1A1中,因为=,所以RtA1B1BRtB1BE,所以B1A1B=BB1E,所以B1A1B+A1B1E=BB1E+A1B1E=90,所以A1BB1E.又因为CE平面B1CE,B1E平面B1CE,CEB1E=E,所以A1B平面B1CE.
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