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综合检测二(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合Ax|2x2，Bx|x(x1)0，则A(RB)等于()Ax|0x2Bx|0x1Cx|0x1Dx|1x0答案C解析Bx|x(x1)0x|x1或x0，RBx|0x1，又Ax|2x2，A(RB)x|0x0，x1)，则g(x)得g(x)故当x1时，g(x)0，函数g(x)单调递增，f(x)单调递减，且f(x)0；当0x1时，g(x)D(X)D(Y)DE(X)E(Y)2x2y2D(X)D(Y)，E(X)E(Y)3(x2y2)2D(X)D(Y)，故选C.8已知向量a，b满足|2ab|3，且a(ab)3，则|ab|的最小值为()A.B.C.D.答案D解析方法一由a(ab)3，得(2ab)(ab)(ab)9，即(2ab)(ab)|ab|29，设2ab与ab的夹角为，则(2ab)(ab)|2ab|ab|cos3|ab|,3|ab|，所以3|ab|9|ab|23|ab|，解得|ab|，所以|ab|的最小值为.方法二如图，设a，b，由|2ab|3，得1，取靠近A的AB的三等分点C，则ab，所以|1.由a(ab)3，得1.以MC所在直线为x轴，线段MC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，则M，C，设A(x，y)，则由1，得x2y2，所以点A的轨迹是以O(0,0)为圆心，为半径的圆，易知点C在该圆内，所以|AC|的最小值为，所以|AB|的最小值为，即|ab|的最小值为.9已知P为双曲线1上一点，M，N分别为圆(x3)2y2及其关于y轴对称的圆上的两点，则|PM|PN|的取值范围为()A5,5B5，33,5C(3,3) D3,3答案B解析由题意知，点M在圆(x3)2y2上，点N在圆(x3)2y2上，设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(3,0)，F2(3,0)，易知F1，F2分别为两个圆的圆心，连接PF1，MF1，PF2，NF2，则|PF1|MF1|PM|PF1|MF1|，|PF2|NF2|PN|PF2|NF2|，所以|PF1|PF2|1|PM|PN|PF1|PF2|1，而|PF1|PF2|4，所以5|PM|PN|3或3|PM|PN|5.10如图1，已知正三角形ABC的边长为6，O是底边BC的中点，D是AB边上一点，且AD2，将AOC绕着直线AO旋转，在旋转过程中，若DC的长度在，内变化，如图2，则点C所形成的轨迹的长度为()A.B.CD.答案A解析方法一ABC为正三角形，O为BC的中点，AOOB，AOOC，BOC是二面角BAOC的平面角，记BOC.如图，过点D作DEOB，垂足为E，连接CE，则DEAO，OE1，OC3，DEAO2，则，其中，即，2()22222(2)21232213cos，226cos，则2226cos19,22，即cos，即点C转过的角度为.点C的轨迹为以O为圆心，以OC为半径的一段圆弧，弧长为3.方法二ABC为正三角形，O为BC的中点，AOOB，AOOC，BOC是二面角BAOC的平面角，记BOC.如图，过点D作DEOB，垂足为E，连接CE，则DEAO，OE1，OC3，DEAO2，则EC2OC2OE22OCOEcos106cos，在RtDCE中，DC2DE2EC2(2)2106cos226cos，则DC2226cos19,22，即cos，即点C转过的角度为.点C的轨迹为以O为圆心，以OC为半径的一段圆弧，弧长为3.第卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分把答案填在题中横线上)11九章算术是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早一千年在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”已知某“鳖臑”的三视图(单位：cm)如图所示，则该“鳖臑”的体积是_cm3.答案10解析由三视图结合“鳖臑”的定义易得该几何体为一个底面为直角边长分别为3,4，高为5，且顶点在底面的射影为直角三角形中最小的角的顶点，则其体积为34510cm3.12已知等比数列an的公比q0，前n项和为Sn.若2(a5a3a4)a4，且a2a4a664，则q_，Sn_.答案2解析2(a5a3a4)a4，2a52a33a42q42q23q32q23q20，得q(舍去)或q2.a2a4a664，a64a44，a1，Sn.13已知x，y满足约束条件则约束条件表示的可行域的面积为_，目标函数zxy3的取值范围为_答案2,3解析画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则A(0,1)，B(2,2)，C，易知ACBC，则可行域的面积S|AC|BC|.因为zxy3，所以yxz3，数形结合知，当直线yxz3与直线BC重合时，z取得最大值3，当直线yxz3经过点A时，z取得最小值2，所以z2,314已知函数f(x)|2x1|，g(x)|2xa|(aR)，则不等式f(x)3的解集为_；若不等式f(x)g(x)6对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围是_答案1,2(，75，)解析f(x)3，即|2x1|3，即32x13，解得1x2，所以不等式f(x)3的解集为1,2因为f(x)g(x)|2x1|2xa|2x12xa|a1|，所以要使不等式f(x)g(x)6对任意的xR恒成立，则|a1|6，解得a7或a5.15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a3，b2，A2B，则sinB_，c_.答案解析a3，b2，A2B，由正弦定理得，即，B为ABC的一个内角，sinB0，cosB，sinB.由二倍角公式知，sinAsin2B2sinBcosB2，cosAcos2B2cos2B1.方法一cosCcos(AB)cos(AB)(cosAcosBsinAsinB)，c2a2b22abcosC，c.方法二sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB，由正弦定理，得，c.16已知x，y，z均为正实数，且满足x2y2z21，则xy2yz的最大值为_答案解析由已知条件x2y2z21，可设1x2y2(1)y2z2,00，若m0，当x24；当xm时，g(x)(xm)(xm)2x2x24.若m0，当x24；当xm时，g(x)(xm)(xm)2x2x24.若m0，g(x)24.又g(x)是偶函数，当x0时，g(x)g(x)4.综上，g(x)4.要使方程g(x)a有解，只需a4即可，所求a的取值范围是4，)三、解答题(本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18(14分)(2019台州模拟)设函数f(x)sin2sinxcosx(xR)(1)求函数f(x)的最小正周期及f的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，试求g(x)在上的最小值解(1)f(x)sin2sinxcosxsin2xcos2xsin2xcos2xsin2xcos.所以函数f(x)的最小正周期T，fcos.(2)g(x)fcoscos.因为x，所以2x.所以当2x，即x时，g(x)取最小值，此时g(x)min1.19(15分)如图，在四棱锥PABCD中，DB平面PAB，ABP120，ABCD，CDBDABBP2，E为AP的中点(1)求证：PC平面BDE；(2)求直线DE与平面PCD所成角的正弦值(1)证明方法一连接AC交BD于点F，连接EF，则EF为ACP的中位线，所以EFPC，又EF平面BDE，PC平面BDE，所以PC平面BDE.方法二因为ABCD，ABCD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC且ADBC，故可将四棱锥PABCD补形成三棱柱PABKDC，如图，取DK的中点Q，连接QC，PQ，EQ.易知DQEP，DQEP，所以四边形PEDQ为平行四边形，所以DEPQ，又DE平面BDE，PQ平面BDE，所以PQ平面BDE.又DQAE，DQAE，所以四边形ADQE为平行四边形，所以ADEQ，ADEQ，又ADBC，ADBC，EQBC，EQBC，所以四边形BEQC为平行四边形，所以BEQC，又BE平面BDE，QC平面BDE，所以QC平面BDE.又PQQCQ，所以平面PQC平面BDE.又PC平面PQC，所以PCBDE.(2)解方法一由(1)中方法二可知DEPQ，所以直线DE与平面PCD所成的角就是直线PQ与平面PCD所成的角，设直线PQ与平面PCD所成的角为，点Q到平面PCD的距离为h.连接AC交BD于点F，连接EF，易知EF，PC2，PQ，在CDP中，DP2PC，CD2，所以SCDP2，易知SCDQ1，因为VPCDQVQCDP，所以SCDQBDSCDPh，所以h.所以sin，所以直线DE与平面PCD所成角的正弦值为.方法二在BAP中，ABBP2，E为AP的中点，ABP120，所以BEAP，以E为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向，过点E且平行于DB的直线为z轴，且的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则E(0,0,0)，B(1,0,0)，A(0，0)，P(0，0)，D(1,0,2)，所以(1，2)，(1，0)，(1,0,2)，设直线DE与平面PCD所成的角为，平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则得取y1，得x，z，所以n(，1，)为平面PCD的一个法向量，所以sin，所以直线DE与平面PCD所成角的正弦值为.20(15分)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2n2an3，S33，数列bn为等比数列，b1b310a3，b2b410a6.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cn，求数列cn的前n项和Tn，并求使得Tn0，所以Tn.故由Tn0)的焦点F是椭圆C：y21的一个焦点(1)求抛物线E的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，抛物线E在点P处的切线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线y与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，OM与直线l交于点D.求证：直线OM平分线段AB；若直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，是否存在点P，使得取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由(1)解根据题意，F，所以抛物线E的方程为x22y.(2)证明设P(m0)，由x22y可得yx，所以直线l的斜率为m，因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(3m24)x23m3x30，所以x1x2.又M，所以OM的方程为yx，由得直线OM与l的交点的横坐标为xD，故xD，所以直线OM平分线段AB.解由知直线l的方程为ymx(m0)，所以G，所以P，F，D，M，所以S1|GF|mm(m21)，S2|PM|mxD|，所以.令t3m28，则402，又对于(3m24)x23m3x30，0，即(3m3)24(3m24)0，所以0m24，所以t3m28，故不存在最小值，即不存在点P，使得取得最小值22(15分)已知函数f(x)(ax22ax1)ex2.(1)讨论f(x)的单调区间；(2)若a，求证：当x0时，f(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)当a0时，(4a)24a(2a1)4a(2a1)，(i)当a时，0，令u(x)0，得x1，x2，且x10，f(x)0，当x(x1，x2)时，u(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(ii)当0a时，0，所以u(x)0，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(，)当a0，令u(x)0，得x1，x2，且x20，f(x)0，当x(，x2)(x1，)时，u(x)0，f(x)时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；当0a时，f(x)的单调递增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，.(2)证明方法一由(1)得，x1，x2.当a时，由(1)知f(x)在(x1，)上单调递减，因为x120，所以f(x)在(0，)上单调递减，所以当x0时，f(x)f(0)10.当a时，由(1)知f(x)在(x2，x1)上单调递增，在(x1，)上单调递减，因为x12(0,1)，x220，所以f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，)上单调递减，所以当x0时，f(x)maxf(x1)(ax2ax11)2，因为ax4ax12a10，所以ax4ax12a1，且a，所以f(x1)(ax2ax11)22a(x11)22.所以要证f(x)0，只需证20，即证(x11)x4x120.设g(x)(x1)exx24x2，x(0,1)，则g(x)(x2)ex2x4(x2)(ex2)，所以当x(0，ln2)时，g(x)0，g(x)在(ln2,1)上单调递增，因为g(0)10，g(1)2e70，所以当x(0,1)时，恒有g(x)0.又x1(0,1)，所以g(x1)0，即f(x1)0，从而当x0时，f(x)f(x1)0.综上，若a，当x0时，f(x)0.方法二f(x)(ax22ax1)ex2aex(x22x)ex2，令(a)aex(x22x)ex2，显然当x0时，ex(x22x)0，所以当a时，(a)ex2.所以要证当x0时，f(x)0，只需证当x0时，ex20，即证当x0时，ex(x22x7)140.令g(x)ex(x22x7)14，则g(x)ex(x24x5)(x1)(x5)ex，所以当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，所以当x0时，g(x)g(1)144e0，从而当x0时，f(x)0.
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