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考点规范练55二项分布及其应用基础巩固组1.已知随机变量XB(n,0.8),D(X)=1.6,则n的值是()A.8B.10C.12D.14答案B解析由D(X)=np(1-p)=n0.80.2=1.6n=10.故选B.2.国庆节放假,甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13,14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为()A.5960B.35C.12D.160答案B解析因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13,14,15.因此,他们不去北京旅游的概率分别为23,34,45,所以,至少有1人去北京旅游的概率为P=1-233445=35.故选B.3.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,则抽出的球的颜色全相同的概率是()A.227B.19C.29D.127答案B解析三次均为红球的概率为131313=127,三次均为黄、绿球的概率也为127,故所求概率为127+127+127=19.故选B.4.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为PP1516,则n的最小值为()A.4B.5C.6D.7答案A解析由题意得P=1-12n1516,则12n116,所以n4.故n的最小值为4.5.设随机变量XB(2,p),YB(4,p),若P(X1)=59,则P(Y2)的值为()A.3281B.1127C.6581D.1681答案B解析因为随机变量XB(2,p),YB(4,p),又P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=59,解得p=13,所以YB4,13,则P(Y2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1127.6.设随机变量XB6,12,则P(X=3)等于.答案516解析XB6,12,由二项分布可得,P(X=3)=C631231-123=516.7.天气预报,端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9,0.8,0.75,若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响,则其中至少一个地方降雨的概率为.答案0.995解析因为甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9,0.8,0.75,所以甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是0.1,0.2,0.25,甲、乙、丙三地都不降雨的概率是0.10.20.25=0.005,故至少一个地方降雨的概率为1-0.005=0.995.8.已知甲射击命中目标的概率是12,乙射击命中目标的概率是13,丙射击命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为.答案34解析设甲射击命中目标为事件A,乙射击命中目标为事件B,丙射击命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-121-131-14=14,故目标被击中的概率为1-P(ABC)=1-14=34.能力提升组9.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A解析3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C320.62(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P=P(k=2)+P(k=3)=C320.62(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为18和p,若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940,则p=()A.110B.215C.16D.15答案B解析由题意得18(1-p)+1-18p=940,所以p=215.故选B.11.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率是()A.164B.5564C.18D.116答案B解析设A与B中至少有一个不闭合的事件为T,E与F至少有一个不闭合的事件为R,则P(T)=P(R)=1-1212=34,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=5564.12.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于()A.C12103810582B.C12938958238C.C119582382D.C1193810582答案D解析由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,由于每次取到红球的概率为38,所以P(X=12)=C11938958238.故选D.13.位于坐标原点的一个质点P按下面规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,其概率分别为23,13,质点P移动5次后位于点(3,2)的概率是.答案40243解析P=C53133232=40243.14.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入甲袋或乙袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12,则小球落入甲袋中的概率为.答案34解析记“小球落入甲袋中”为事件A,“小球落入乙袋中”为事件B,则事件A的对立事件为B.若小球落入乙袋中,则小球必须一直向左或一直向右落下,故P(B)=123+123=14,从而P(A)=1-P(B)=1-14=34.15.某射击选手在射击比赛中,每次是否击中目标互不影响,击中目标的概率为45.该射手可最多连续射击5次,当击中目标后停止射击,则该射手击中目标概率最大的射击次数为.答案4解析设射手在最多5次射击中击中目标的次数为X,则XB(5,0.8),恰好k次击中目标的概率为P(X=k)=C5k45k155-k,k=0,1,2,3,4.由P(X=k)P(X=k-1),P(X=k)P(X=k+1),得C5k45k155-kC5k-145k-1156-k,C5k45k155-kC5k+145k+1154-k,解得195k245,故k=4.16.某校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为23,且每题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的分布列,并计算其数学期望;(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.解(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题目个数分别为,则的可能取值为1,2,3,P(=1)=C41C22C63=15,P(=2)=C42C21C63=35,P(=3)=C43C20C63=15,考生甲正确完成题数的分布列为123P153515E()=115+235+315=2.又B3,23,其分布列为P(=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.E()=np=323=2.(2)D()=(1-2)215+(2-2)235+(3-2)215=25,D()=npq=32313=23,D()P(2).从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.17.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 m的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康和大气环境质量的影响很大.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35 g/m3以下空气质量为一级;在35 g/m375 g/m3之间空气质量为二级;在75 g/m3以上空气质量为超标.某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中,随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的数据中任取3天的数据,记表示空气质量达到一级的天数,求的分布列;(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气质量达到一级?解(1)的可能值为0,1,2,3,其分布列为P(=k)=C6kC93-kC153(k=0,1,2,3),0123P8445521645513545520455(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为615=25.一年中空气质量达到一级的天数为,则B360,25,所以E()=36025=144(天),一年中空气质量达到一级的天数约为144天.
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