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第30练坐标系与参数方程明晰考情1.命题角度：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标方程、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.2.题目难度：中档难度.考点一曲线的极坐标方程方法技巧(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tan(x0)，要注意，的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.1.已知圆的极坐标方程为4cos，圆心为C，点P的极坐标为，求CP的长.解由4cos，得24cos，即x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，又由点P的极坐标为，可得点P的直角坐标为(2,2)，|CP|2.2.在极坐标系中，曲线C1：(cossin)1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，求a的值.解(cossin)1，即cossin1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2，得a.3.在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos3和sin28cos，直线l与曲线C交于点A，B，求线段AB的长.解coscoscossinsincossin3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos，2sin28cos，曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组得或不妨取A(2，4)，B(18,12)，|AB|16.即线段AB的长为16.考点二参数方程及其应用要点重组过定点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|t1t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1t2).方法技巧(1)参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围对x，y的限制.(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.4.已知曲线C：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan.当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.5.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角.(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值.解(1)圆C的标准方程为x2y216.直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数).(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2y216，得2216，即t2(2)t110.所以t1t211，即|PA|PB|t1t2|11.6.已知椭圆C：1，直线l：(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标.解(1)椭圆C的参数方程为(为参数)，直线l的普通方程为xy90.(2)设P(2cos，sin)，则|AP|2cos，点P到直线l的距离d.由|AP|d，得3sin4cos5，又sin2cos21，得sin，cos.故P.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用方法技巧(1)解决极坐标与参数方程的综合问题的关键是掌握极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化.涉及圆、圆锥曲线上的点的最值问题，往往通过参数方程引入三角函数，利用三角函数的最值求解.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.7.(2017全国)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为，求a.解(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标是(3,0)，.(2)直线l的普通方程是x4y4a0，故C上的点(3cos，sin)到l距离d.当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，所以a16.综上，a8或a16.8.已知曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin4.(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；(2)若射线与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线与曲线C交于O，P两点，求PAB的面积.解(1)由(为参数)，消去，得普通方程为(x2)2y24.从而曲线C的极坐标方程为24cos0，即4cos，直线l的极坐标方程为sin4，即sincos4，直线l的直角坐标方程为xy80.(2)依题意知，A，B两点的极坐标分别为，联立射线与曲线C的极坐标方程，得P点极坐标为，|AB|2，SPAB22sin2.9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos，sin).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为点P到C2的距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.典例(10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cos2sin0和2.(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；(2)若Q是椭圆C上的动点，求点Q到直线l距离的最大值.审题路线图规范解答评分标准解(1)由cos2sin0，得cos2sin0，即x2y0，所以直线l的直角坐标方程为x2y0.由2，得2cos242sin24，即x24y24，所以y21.所以椭圆C的直角坐标方程为y21.4分(2)因为椭圆C：y21的参数方程为(为参数)，6分可设Q(2cos，sin)，因此点Q到直线l：x2y0的距离d，8分所以当k，kZ时，d取得最大值.故点Q到直线l的距离的最大值为.10分构建答题模板第一步互化：将极坐标方程与直角坐标方程互化；第二步引参：引进参数，建立椭圆的参数方程；第三步列式：利用距离公式求出距离表达式；第四步求最值：利用三角函数求出距离的最值.1.(2018全国)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点.(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点.当时，记tank，则l的方程为ykx.l与O交于两点，即点O到l的距离小于半径1，当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.2.已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程，并说明方程表示什么轨迹；(2)若直线l的极坐标方程为sincos，求直线l被曲线C截得的弦长.解(1)因为曲线C的参数方程为 (为参数)，所以曲线C的普通方程为(x3)2(y1)210，曲线C表示以C(3,1)为圆心，为半径的圆.将代入并化简，得6cos2sin，即曲线C的极坐标方程为6cos2sin.(2)因为直线l的直角坐标方程为yx1，所以圆心C到直线yx1的距离d，所以直线被曲线C截得的弦长为2.3.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为2cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.解(1)2cos2(cossin)，即22(cossin)，可得x2y22x2y0，故C2的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.(2)由C1的参数方程可得，C1的普通方程为xy20.由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.4.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，0)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos，圆C的圆心到直线l的距离为.(1)求的值；(2)已知P(1,0)，若直线l与圆C交于A，B两点，求的值.解(1)由直线l的参数方程为(t为参数，0)，消去参数t，得xsinycossin0.圆C的极坐标方程为4cos，即24cos，可得圆C的普通方程为x2y24x0，即为(x2)2y24，可知圆心为(2,0)，半径为2，圆C的圆心到直线l的距离为d3sin.由题意可得d，即3sin，则sin，00，t1，t2同号，.
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