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第2课时椭圆的几何性质及应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系知识点一点与椭圆的位置关系思考类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，b0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长弦长公式：|AB|，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大()(2)直线y1被椭圆y21截得的弦长为.()(3)已知椭圆1(ab0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线()(4)直线yk(xa)与椭圆1的位置关系是相交()类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1点与椭圆位置关系的判断例1已知点P(k,1)，椭圆1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为_考点椭圆的简单几何性质题点点与椭圆的位置关系答案解析由题可知1，解得k.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案解析由1，解得k2，即k.反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性跟踪训练1已知点(3,2)在椭圆1(ab0)上，则()A点(3，2)不在椭圆上B点(3，2)不在椭圆上C点(3,2)在椭圆上D以上都不正确考点椭圆的简单几何性质题点点与椭圆的位置关系答案C解析由已知，得1，只有选项C正确命题角度2直线与椭圆位置关系的判断例2对不同的实数m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由消去y，得5x28mx4m240，(8m)245(4m24)16(5m2)当m时，0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m或m时，0，直线与椭圆相离反思与感悟判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式是解题关键跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范围为.类型二弦长问题例3已知椭圆4x25y220的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线l交椭圆于A，B两点，求弦长|AB|.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交求弦长与三角形面积解椭圆的标准方程为1，a，b2，c1，直线l的方程为yx1(不失一般性，设l过左焦点)由消去y，得9x210x150.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.反思与感悟求解弦长时，需正确记忆公式内容，其次，准确得到x1x2和x1x2的值跟踪训练3椭圆1(ab0)的离心率为，且椭圆与直线x2y80相交于P，Q两点，若|PQ|，求椭圆方程考点由椭圆的简单几何性质求方程题点由椭圆的几何特征求方程解e，b2a2，椭圆方程为x24y2a2，与x2y80联立消去y，得2x216x64a20，由0，得a232，由弦长公式，得10642(64a2)，a236，b29，椭圆方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)由消去y，得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围(3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围跟踪训练4已知动点P(x，y)在椭圆1上，若点A的坐标为(3,0)，|1，且0，求|的最小值考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解由|1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，则|，当|minac532时，|min.1若直线l：2xby30过椭圆C：10x2y210的一个焦点，则b的值是()A1BC1或1D或考点由椭圆方程研究简单几何性质题点由椭圆几何特征求参数答案C解析易知椭圆x21的焦点为F1(0，3)，F2(0,3)，所以b1或1.2已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax2y30B2xy30Cx2y30D2xy30考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案A解析由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直线方程为yx，即x2y30.3(2017牌头中学期中)设F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.B.C.D.答案D解析方法一由题意知F1(c,0)，F2(c,0)，P，PF1的中垂线过点F2，|F1F2|F2P|，即2c，整理得y23c22a2.y20，3c22a20，即3e220，解得e.又0e1，e的取值范围是.方法二设直线x与x轴交于M点，则|F1F2|F2P|MF2|，即2cc，整理得e21，又0e1，e0，解得m1或m0且m3，m1且m3.6已知A，B是椭圆1(ab0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若椭圆的离心率为，则|k1|k2|的最小值为()A1B.C.D.考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题答案A解析设M(x，y)，N(x，y)(axa)，则k1，k2，又因为椭圆的离心率为，所以，|k1|k2|21，故选A.7已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的斜率为()A.B.C.D.1考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案C解析因为椭圆1的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，所以解得a2，b，所以椭圆的方程为1，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，所以设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，y1y22，又因为两式相减，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以(x1x2)(y1y2)0，所以直线l的斜率为k，故选C.二、填空题8(2017牌头中学期中)过椭圆1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案3x4y130解析设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于A，B两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.又P是A，B的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线AB的方程为y1(x3)即3x4y130.9若直线mxny4与圆x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2解析因为直线mxny4与圆x2y24没有交点，所以2，所以m2n20)与线段AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点若6，则k的值为_考点由椭圆方程研究简单几何性质题点由椭圆几何特征求参数答案或解析依题意得椭圆的方程为y21，直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x12)，其离心率为，故，解得a4，故椭圆C2的方程为1.(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为ykx.将ykx代入到y21中，得(14k2)x24，所以x.将ykx代入到1中，得(4k2)x216，所以x.又由2，得x4x，即，解得k1.故直线AB的方程为xy0或xy0.13已知椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C(m,0)是线段OF上异于O，F的一个定点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得|AC|BC|，并说明理由考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)由已知可得解得b1，椭圆的方程为y21.(2)由(1)得F(1,0)，0m1.假设存在满足题意的直线l，设l为yk(x1)，代入到y21中，得(2k21)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).设AB的中点为M，则M.|AC|BC|，CMAB，即kCMkAB1，2mk0等价于(12m)k2m，当0m时，k ，即存在满足条件的直线l；当m1时，k不存在，即不存在满足条件的直线l.四、探究与拓展14已知椭圆C：y21的右焦点为F，直线l：x2，点Al，线段AF交C于点B，若3，则|_.考点由椭圆方程研究简单几何性质题点由椭圆方程研究其他几何性质答案解析设点A(2，n)，B(x0，y0)由椭圆C：y21，知a22，b21，所以c21，即c1，所以右焦点F(1,0)，所以由3得(1，n)3(x01，y0)，所以13(x01)且n3y0，所以x0，y0n.将x0，y0代入到y21中，得221，解得n21，所以|.15已知椭圆E：1(ab0)过点P(2，)，且它的离心率为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)与圆(x1)2y21相切的直线l：ykxt(kR，tR)交椭圆E于M，N两点，若椭圆E上一点C满足(O为坐标原点)，求实数的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知，得解得所以椭圆E的标准方程为1.(2)因为直线l：ykxt与圆(x1)2y21相切，所以1，所以2k(t0)把ykxt代入1，并整理得(34k2)x28ktx(4t224)0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t.因为(x1x2，y1y2)，所以C，又因为点C在椭圆E上，所以1，可得2，因为t20，所以211，所以022，所以的取值范围为(，0)(0，)
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