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第8练平面向量明晰考情1命题角度：平面向量数量积的运算，利用向量判定直线的位置关系、求夹角或距离，另外还可以和函数、数列、几何等交汇考查.2题目难度：中低档难度.考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.(2)向量共线定理.(3)平面向量基本定理.方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点、连终点.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得st，且st1，s，tR.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.1.(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_.答案3解析因为manb(2mn，m2n)(9，8)，所以解得故mn3.2.(2018江苏南京金陵中学模拟)设向量a，向量b，且ab，则锐角的值为_.答案解析因为ab，所以tan cos 0，即sin ，又为锐角，所以.3.已知A(3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在AOB内，OC2，且AOC，设(R)，则的值为_.答案解析过C作CEx轴于点E.由AOC，得OECE2，所以，即，所以(2,0)(3,0)，故.4.在ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM3CM，若xy，则xy_.答案2解析因为，又，所以()，所以x，y，则xy2.考点二平面向量的数量积要点重组(1)ab|a|b|cos.(2)|a|2aa；cos.方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.5.已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则_.答案a2解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos120a2a22aa3a2，BDa.|cos30a2a2.6.若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为_.答案解析由(ab)(3a2b)，得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos2|b|20，|b|2|b|2cos2|b|20，cos.又0，.7.在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，B(0，1)，P是曲线y上一个动点，则的取值范围是_.答案0,1解析由题意知，y表示以原点为圆心，1为半径的上半圆.设P(cos，sin)，0，(1,1)，(cos，sin1)，所以cossin1sin1，因为0，所以，所以01，所以的取值范围是0,1.8.(2018江苏南京金陵中学期末)如图，在平面四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，且OB10，OD6.若28，则的值为_.答案36解析如图，M为FG的中点，2，2.把式和式两边平方并相减，得|2|2，该结论称为极化恒等式.所以|2|228，所以|264，故|2|236.考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.9.已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_.答案解析由已知可得|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式对任意单位向量e都成立.|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.10.在ABC中，A60，AB3，AC2，若2，(R)，且4，则的值为_.答案解析由题意知，|3，|2，32cos603，()，()223322254，解得.11.在平面内，6，动点P，M满足|2，则|2的最大值是_.答案16解析由已知易得ABC是等边三角形且边长为2.设O是ABC的中心，则|2.以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(1，)，C(1，).设P(x，y)，由已知得|2，得(x2)2y24，M，|2，它表示圆(x2)2y24上的点P(x，y)与点D(1，3)的距离的平方的，|max228，|16.12.如图，半径为2的扇形的圆心角为，M，N分别为线段OP，OQ的中点，A为上任意一点，则的取值范围是_.答案解析如图，以点O为坐标原点，OQ为x轴建立平面直角坐标系，则M，N(1,0)，由题意可设点A(2cos，2sin)，其中0，所以，(12cos，2sin)，所以(12cos)(2sin)cossin2cos，其中0，因为0，所以，所以cos1，22cos1，2cos，即的取值范围是.1.若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为_.答案120解析设a与b的夹角为，由题意得|a|b|，(2ab)b0，可得2abb22|a|b|cosb22|a|a|cos|a|20，解得cos，因为0180，所以120.2.已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是_.答案k1解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量，共线，(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1).1(k1)2k0，解得k1.3.已知向量a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.答案解析ab(1，2)，由a(ab)0，可得.又a与ab不共线，0.故且0.4.在ABC中，有如下命题，其中正确的是_.(填序号)；0；若()()0，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为锐角三角形.答案解析在ABC中，错误；若0，则B是钝角，ABC是钝角三角形，错误.解题秘籍(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质.(2)注意向量夹角的定义和范围.在ABC中，和的夹角为B；向量a，b的夹角为锐角要和ab0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).1.已知向量a(2,1)，b(1，1)，若ab与mab垂直，则实数m的值为_.答案解析根据向量a，b的坐标，可得ab(1,2)，mab(2m1，m1)，因为(ab)(mab)，所以(ab)(mab)1(2m1)2(m1)4m10，故m.2.在平行四边形ABCD中，点M在边CD上，且满足DMDC，点N在CB的延长线上，且满足CBBN，若AB3，AD4，则的值为_.答案30解析因为，2，所以230.3.已知平面向量，(0，)满足|1，且与的夹角为120，则|的取值范围是_.答案解析如图，由正弦定理，得(0120)，|sin，0|.4.已知(6,1)，(4，k)，(2,1).若A，C，D三点共线，则k_.答案4解析因为(6,1)，(4，k)，(2,1)，所以(10，k1).又A，C，D三点共线，所以，所以1012(k1)0，解得k4.5.(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_.答案3解析设A(a,2a)，则a0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0.由题意知C.由解得或D(1,2).又0，(5a，2a)，(5a，2a)a25a0，解得a3或a1.又a0，a3.6.(2018南京调研)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，则实数的值为_.答案解析AB3，AC2，BAC120，由余弦定理可得BC，又根据余弦定理可得cosABC，()2193，解得.7.在锐角ABC中，tanA，D为边BC上的点，ABD与ACD的面积分别为2和4，过D作DEAB于点E，作DFAC于点F，则_.答案解析由tan A得cos A，sin A，DEAB，DFAC，D，E，A，F四点共圆，即|(cos A)|，DEAB2，DFAC4，ABACsin A246，ABAC12，|，因此.8.在梯形ABCD中，2，|6，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足40，|，Q为边AD上的一个动点，则|的最小值为_.答案解析如图，取AB的中点M，则，由40，得2，所以P为线段DM上靠近点D的三等分点，由题意知，|cosADM|，所以cosADM，则sinADM，所以|的最小值为2sinADM.9.(2018江苏溧水第二高级中学联考)在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点(点E为靠近A点的三等分点)，4，1，则的值是_.答案解析D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，3，3，221，9224，2，2，又2，2，422.10.在等腰直角ABC中，A90，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点，M，N分别为AB边和AC边上的点，且M，N关于直线AD对称，当时，_.答案3解析由等腰直角ABC中，A90，AB，AD是BC边上的高，P为AD的中点知，AD1，AP，又，知()()，化简为2()，由M，N关于直线AD对称知，|cos135|cos135，故AM，所以3.11.在边长为1的菱形ABCD中，A，若点P为对角线AC上一点，则的最大值为_.答案解析设(01)，则，因此()()()22.因为四边形ABCD是边长为1的菱形，且BAD，所以|1，11cos，从而22，所以当0或1时，()max.12.(2018无锡模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，DPC是等腰直角三角形(P为直角顶点)，E，F分别为线段CD，AB上的动点(含端点)，则的取值范围为_.答案解析以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，因为ABCD的边长为2，DPC是等腰直角三角形，所以P(1,3)，设E(a,2)，F(b,0)，因为0a2,0b2 ，所以0ab4,02，(a1，1)，(b1，3)，所以(a1，1)(b1，3)(a1)(b1)3，因为0a2,0b2，所以1a11，1b11，所以1(a1)(b1)1，所以24.
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