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第27练压轴小题专练(1)明晰考情高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一与函数有关的压轴小题方法技巧本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，考查函数性质、函数零点、参数的范围和通过函数性质求解不等式.解决该类问题的途径往往是构造函数，进而研究函数的性质，利用函数性质去求解问题是常用方法，其间要注意导数的应用.1.偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，若函数g(x)f(x)|lgx|，则g(x)在(0,10)上的零点个数为_.答案10解析由题意g(x)f(x)|lg x|f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，故f(x)是周期函数，且T2，又函数f(x)是R上的偶函数，f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于x1对称，当x0时，在同一坐标系中作出yf(x)和y|lg x|的图象，如图所示.由图象知函数g(x)的零点个数为10.2.已知函数f(x)2x(x0)，令h(x)g(x)，得2xlog2(xa)(x0)，则方程2xlog2(xa)在(0，)上有解，作出y2x与ylog2(xa)的图象，如图所示，当a0时，函数y2x与ylog2(xa)的图象在(0，)上必有交点，符合题意；若a0，两函数在(0，)上必有交点，则log2a，解得0a0，且m1)是“成功函数”，则实数t的取值范围为_.答案解析无论m1还是0m0)，则mx2t可化为2t22，结合图形(图略)可得t.4.(2018江苏省如东高级中学月考)已知函数f(x)(x23)ex，设关于x的方程f2(x)af(x)0(aR)有4个不同的实数解，则a的取值范围是_.答案(2e,0)解析由题意知，f(x)2xex(x23)exex(x22x3)，令f(x)0，解得x1或x3，所以当x1时，f(x)0，当3x1时，f(x)0，所以f(x)在(，3)上单调递增，在(3,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x3时，f(x)取得极大值；当x1时，f(x)取得极小值2e，当x时，f(x)0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由f2(x)af(x)0，得f(x)0或f(x)a，由图象可知f(x)0有两解，所以f(x)a也有两解，所以a或2eabn，得(n2)2n(n12)2n1，解得n21，即221，所以b1得(12)2，解得，因此.7.已知Sn和Tn分别为数列an与数列bn的前n项和，且a1e4，SneSn1e5，an，则当Tn取得最大值时n的值为_.答案4或5解析由SneSn1e5，得Sn1eSne5(n2)，两式相减，得anean1(n2)，易知a2e3，所以数列an是首项为e4，公比为的等比数列，所以ane5n.因为an，所以bn5n.由即解得4n5，所以当n4或n5时，Tn取得最大值.8.已知函数f(x)x2(a8)xa2a12，且f(a24)f(2a8)，设等差数列an的前n项和为Sn(nN*)，若Snf(n)，则的最小值为_.答案解析由题意可得a242a8或a242a82，解得a1或a4.当a1时，f(x)x29x10，数列an不是等差数列；当a4时，f(x)x24x，Snf(n)n24n，a15，a27，an5(75)(n1)2n3，1，当且仅当n1，即n1(舍负)时取等号，n为正整数，213，当n2时，；当n3时，故当n3时原式取最小值.1.(2018全国改编)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.答案2解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1).f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数及其定义域为R得f(0)0.又f(1x)f(1x)，f(x)的图象关于直线x1对称，f(2)f(0)0，f(2)0.又f(1)2，f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200，f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)202.2.已知实数f(x)若关于x的方程f2(x)f(x)t0有三个不同的实根，则t的取值范围为_.答案(，2解析设mf(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m1时，mf(x)有两个根，当m1时，mf(x)有一个根.若关于x的方程f2(x)f(x)t0有三个不同的实根，则等价为m2mt0有两个不同的实数根m1，m2，且m11，m21.当m1时，t2，此时由m2m20，解得m1或m2，f(x)1有两个根，f(x)2有一个根，满足条件；当m1时，设h(m)m2mt，其对称轴为m，则需h(1)0即可，即11t0，解得t0)，则g(t)lntlnt(t0)，设h(t)g(t)，则h(t)0，函数g(t)单调递增，当t(e，)时，g(t)0，函数g(t)单调递减，则当te时，g(t)取得最大值g(e)，且当t0时，g(t)，据此有，m0或m.综上可得实数m的取值范围是(，0).4.已知函数f(x)，函数g(x)asinx2a2(a0)，若存在x1，x20,1，使得f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_.答案解析当x0,1时，f(x)是增函数，其值域是0,1.g(x)asinx2a2(a0)的值域是，因为存在x1，x20,1，使得f(x1)g(x2)成立，所以0,1，若0,1，则22a1或2a0，即aa1，S4a128，且a32是a2，a4的等差中项，若数列的前n项和Tn2n2M恒成立，则M的最小值为_.答案解析设等比数列an的公比为q，依题意得2(a32)a2a4，又S4a128，a2a3a428，得a38，解得或又a2a1，a12，q2，an2n，Sn2n12.令bn，bn，Tn.故Tn2n22n2.又Tn2n2(Tn12n1)2n22n20，即Tn2n2Tn12n1，故数列Tn2n2单调递减，故(Tn2n2)max21.又Tn2n2M恒成立，即MTn2n2恒成立，故M，所以M的最小值为.10.已知数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列an的前n项和为Sn，且满足a4S3，a9a3a4，则使得恰好为数列an的奇数项的正整数k的值为_.答案1解析设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则a11，a22，a31d，a42q，a914d.因为a4S3，a9a3a4，所以121d2q,14d1d2q，解得d2，q3，则对于nN*，有a2n12n1，a2n23n1，所以S2n13(2n1)2(13323n1)3nn21，S2n1S2na2n3n1n21.若恰好为数列an的奇数项，则可设m(m为正奇数)，所以m，即(3m)3k1(m1)(k21).当k1时，m3，满足条件；当k1时，由0，得0，解得1m3，因为m为正奇数，所以此时满足条件的正整数k不存在.综上，k1.11.已知函数f(x)x2(ln3x)22a(x3ln3x)10a2，若存在x0使得f(x0)成立，则实数a的值为_.答案解析f(x)x2(ln3x)22a(x3ln3x)10a2(xa)2(ln3x3a)2表示点M(x，ln3x)与点N(a,3a)距离的平方，M点的轨迹是函数g(x)ln3x的图象，N点的轨迹是直线y3x，则g(x).作g(x)的平行于直线y3x的切线，切点为(x1，y1)，则3，所以x1，切点为P，所以曲线上点P到直线y3x的距离最小，最小距离d，所以f(x)，根据题意，要使f(x0)，则f(x0)，此时N为垂足，点M与点P重合，kMN，得a.12.(2018江苏省海安高级中学月考)已知公比不为1的等比数列an中，a11，a2a，且an1k(anan2)对任意正整数n都成立，且对任意相邻三项am，am1，am2按某顺序排列后成等差数列，则满足题意的k的值为_.答案解析设等比数列an的公比为q，则qa(a1)，所以amam1，am1am，am2am1.若am1为等差中项，则2am1amam2，即2amam1am1，解得a1，不合题意.若am为等差中项，则2amam1am2，即2am1amam1，化简得a2a20，解得a2或a1(舍去).k.若am2为等差中项，则2am2am1am，即2am1amam1，化简得2a2a10，解得a或a1(舍去)，k.综上可得满足要求的实数k有且仅有一个，且k.
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