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第三节导数与函数的单调性A组基础题组1.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是() A.增函数B.减函数C.先增后减 D.先减后增答案A在(0,2)上有f(x)=1-cosx0恒成立,所以f(x)在(0,2)上单调递增.2.函数f(x)=3+xlnx的单调递减区间是()A.1e,eB.0,1eC.-,1eD.1e,+答案B因为函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=lnx+x1x=lnx+1,令f(x)0,解得0x1e,故f(x)的单调递减区间是0,1e.3.若幂函数f(x)的图象过点22,12,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为()A.(-,0)B.(-,-2)C.(-2,-1)D.(-2,0)答案D设幂函数f(x)=x,因为图象过点22,12,所以12=22,=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g(x)=exx2+2exx=ex(x2+2x),令g(x)0,得-2x0,故函数g(x)的单调递减区间为(-2,0).4.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),则下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是()答案C由题图可知当0x1时,xf(x)0,所以f(x)1时,xf(x)0,所以f(x)0,函数f(x)递增.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值.当x-1时,xf(x)0,函数f(x)递增,当-1x0,所以f(x)0,函数f(x)递减,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值.符合条件的只有C项.5.若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.0,+)B.(-,0C.(-,0)D.(0,+)答案Cf(x)=1+ax=x+ax,若f(x)=x+alnx不是单调函数,则f(x)=0在(0,+)内有解,所以a0,故选C.6.已知函数f(x)=ax+lnx,则当a0时,f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.答案0,-1a;-1a,+解析由已知得f(x)的定义域为(0,+).当a-1a时,f(x)0,当0x0,所以f(x)的单调递增区间为0,-1a,单调递减区间为-1a,+.7.函数f(x)=lnx-x1+2x为函数(填“增”或“减”).答案增解析由已知得f(x)的定义域为(0,+).f(x)=lnx-x1+2x,f(x)=1x-1+2x-2x(1+2x)2=4x2+3x+1x(1+2x)2.x0,4x2+3x+10,x(1+2x)20.当x0时,f(x)0.f(x)在(0,+)上是增函数.8.若f(x)=xsinx+cosx,则f(-3),f2,f(2)的大小关系是.答案f(-3)f(2)f2解析易知函数f(x)为偶函数,因此f(-3)=f(3).又f(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x2,时,f(x)f(2)f(3)=f(-3).9.已知函数f(x)=lnx+a2x2-(a+1)x.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2,求f(x)的单调区间.解析由已知得f(x)=1x+ax-(a+1),则f(1)=0.而f(1)=ln1+a2-(a+1)=-a2-1,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-a2-1.-a2-1=-2,解得a=2.f(x)=lnx+x2-3x,f(x)=1x+2x-3.由f(x)=1x+2x-3=2x2-3x+1x0,得0x1,由f(x)=1x+2x-30,得12x0都有2f(x)+xf(x)0成立,则() A.4f(-2)9f(3)C.2f(3)3f(-2)D.3f(-3)0时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上是增函数,易得g(x)是偶函数,则4f(-2)=g(-2)=g(2)0,解得a-3,所以实数a的取值范围是(-3,0)(0,+).3.已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调递减区间;(2)若函数g(x)=f(x)+2x在1,+)上单调,求实数a的取值范围.解析(1)由题意知,函数的定义域为(0,+),当a=-2时,f(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x,由f(x)0得0x1时,g(x)0.解析(1)f(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x0).当a0时,f(x)0时,由f(x)=0得x=12a.当x0,12a时,f(x)0,f(x)单调递增.(2)证明:令s(x)=ex-1-x,则s(x)=ex-1-1.当x1时,s(x)0,所以s(x)在(1,+)内为增函数,所以s(x)s(1),即ex-1x,从而g(x)=1x-1ex-10.
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