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2分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列an的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合1若一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这条直线的方程为()Axy70B2x5y0Cxy70或2x5y0Dxy70或2y5x0答案C解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a0时，直线过原点，此时直线方程为yx，即2x5y0；当a0时，设直线方程为1，求得a7，则直线方程为xy70.2已知Sn为数列an的前n项和，且Sn2an2，则S5S4的值为()A8B10C16D32答案D解析当n1时，a1S12a12，解得a12.因为Sn2an2，当n2时，Sn12an12，两式相减得an2an2an1，即an2an1，则数列an为首项为2，公比为2的等比数列，则S5S4a52532.3已知集合A，Bx|mx10，mR，若ABB，则所有符合条件的实数m组成的集合是()A0，1,2B.C1,2D.答案A解析因为ABB，所以BA.若B为，则m0；若B，则m10或m10，解得m1或2.综上，m0，1,2故选A.4已知函数f(x)x|xa|a，aR，若对任意x3,5，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析因为对任意x3,5，f(x)0恒成立，所以f(x)min0.当a0时，对任意x3,5，f(x)x|xa|a0恒成立；当a0时，f(x)易知f(x)在上单调递增，在上单调递减，在a，)上单调递增当0a3时，f(x)minf(3)3(3a)a0，解得a，所以05时，f(x)minmin3(a3)a，5(a5)a0，解得a，所以a.综上，实数a的取值范围是.二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.B4C.D4或答案D解析当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，体积V244；当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，体积V6.6已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于()AB.C0D0或答案D解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线ykx1与直线x0或y2x垂直时才满足结合图形可知斜率k的值为0或.7已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为_答案yx或yx解析由e，得，则a23b2.若双曲线焦点在x轴上，则渐近线方程为yx.若双曲线焦点在y轴上，则渐近线方程为yx.8抛物线y24px(p0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为_答案4解析当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形当x2p(p0)时，与点P在抛物线上矛盾符合要求的点P有4个三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.9已知实数a，x，a0且a1，则“ax1”的充要条件为()A0a1，x1，x0C(a1)x0Dx0答案C解析由ax1知，axa0，当0a1时，x1时，x0.故“ax1”的充要条件为“(a1)x0”10若函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为()A(，1 B1，)C(，0) D(0，)答案B解析方法一当a0时，f(x)4x3在0,2上为增函数，最大值为f(2)，满足题意当a0时，函数f(x)ax24x3a23，其对称轴为x.当a0时，f(x)ax24x3在0,2上为增函数，最大值为f(2)，满足题意当a0时，只有当2，即1a0时，f(x)ax24x3在0,2上为增函数，最大值为f(2)，满足题意综上，当a1时，函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故选B.方法二由f(x)ax24x3，得f(x)2ax4，要使函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)，需使f(x)ax24x3在0,2上为增函数，则f(x)2ax40在0,2上恒成立，当x0时成立，当x0时，由x(0,2，得a，因为在(0,2上的最大值为1，所以a1.综上，当a1时，函数f(x)ax24x3在0,2上有最大值f(2)故选B.11设函数f(x)x2axa3，g(x)ax2a，若存在x0R，使得f(x0)0和g(x0)0同时成立，则实数a的取值范围为()A(7，) B(，2)(6，)C(，2) D(，2)(7，)答案A解析由f(x)x2axa3知，f(0)a3，f(1)4.又存在x0R，使得f(x0)0，解得a6.又g(x)ax2a的图象恒过点(2,0)，故当a6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a6时，若g(x0)0，则x02，要使f(x0)7.当a2时，若g(x0)2，此时函数f(x)x2axa3的图象的对称轴x1，故函数f(x)在区间上为增函数，又f(1)4，f(x0)0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2aB.C4aD.答案C解析抛物线yax2(a0)的标准方程为x2y(a0)，焦点F.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|QF|，4a.3已知函数f(x)(a3)xax3在1,1上的最小值为3，则实数a的取值范围是()A(，1 B12，)C1,12D.答案D解析当a0时，函数f(x)3x，x1,1，显然满足条件，故排除A，B；当a时，函数f(x)x3x，f(x)x2(x21)，当1x1时，f(x)0，所以f(x)在1,1上为减函数，所以f(x)minf(1)3，满足条件，故排除C.综上，选D.4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则_.答案解析令abc，则ABC为等边三角形，且cosAcosC，代入所求式子，得.二、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.5若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_答案解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x在x(t，3)上恒成立，函数y3x在(t，3)上为减函数，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x在x(t，3)上恒成立，函数y3x在(t，3)上为减函数，则m49，即m.函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数时m的取值范围为.6.如图所示，已知三棱锥PABC，PABC2，PBAC10，PCAB2，则三棱锥PABC的体积为()A40B80C160D240答案C解析因为三棱锥PABC的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，可知三棱锥PABC的各棱分别是此长方体的面对角线不妨令PEx，EBy，EAz，则由已知，可得解得从而知VPABCVAEBGFPDCVPAEBVCABGVBPDCVAFPCVAEBGFPDC4VPAEB681046810160.7对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_答案(，1)(3，)解析设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0，所以x1.f(p)在0,4上恒为正等价于即解得x3或x0，则x的取值范围为_答案(1,3)解析f(x)是偶函数，且f(x)在0，)上单调递减，f(2)0，不等式f(x1)0等价于f(|x1|)f(2)，即|x1|2，则1x3，x的取值范围是(1,3)10在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上，若20，则点P的横坐标的取值范围是_答案5，1解析方法一因为点P在圆O：x2y250上，所以设P点坐标为(x，)(5x5)因为A(12,0)，B(0,6)，所以(12x，)或(12x，)，(x，6)或(x，6)因为20，先取P(x，)进行计算，所以(12x)(x)()(6)20，即2x5.当2x50，即x时，上式恒成立当2x50，即x时，(2x5)250x2，解得x1，故x1.同理可得P(x，)时，x5.又5x5，所以5x1.故点P的横坐标的取值范围为5，1方法二设P(x，y)，则(12x，y)，(x，6y)20，(12x)(x)(y)(6y)20，即2xy50.如图，作圆O：x2y250，直线2xy50与O交于E，F两点，P在圆O上且满足2xy50，点P在上由得F点的横坐标为1，又D点的横坐标为5，P点的横坐标的取值范围为5，111已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_答案解析由题意知，g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25(1a1)对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，解得x1.故当x时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)a4a5Ba1a8a4a5Da1a8a4a5答案B解析取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1845成立，即a1a80，则ylnx1，令lnx10，解得x，当x时，y0，函数单调递增，所以当x时，yxlnx有最小值，即m0，即0mf(2)的解集为()A，1 B，C，1)(1， D(，1)(1，)答案C解析因为f(x)x(exex)cos(x)x(exex)cosxf(x)，所以函数f(x)为偶函数，令g(x)x，易知g(x)在0,3上为增函数，令h(x)cosx，易知h(x)在0,3上为增函数，故函数f(x)x(exex)cosx在0,3上为增函数，所以f(x21)f(2)可变形为f(x21)f(2)，所以2x213，解得x1或1f(2)的解集为，1)(1，9在等比数列an中，已知a3，S3，则a1_.答案或6解析当q1时，a1a2a3，S33a1，显然成立当q1时，由a3，S3，得由，得3，即2q2q10，所以q或q1(舍去)当q时，a16.综上可知，a1或a16.10设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则的值为_答案或2解析若PF2F190，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2，所以|PF1|，|PF2|，所以.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，且|PF1|PF2|，所以|PF1|4，|PF2|2，所以2.综上知，或2.11(2017浙江)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_答案42解析设a，b的夹角为，|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y，则y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,2|ab|ab|的最小值是4，最大值是2.12已知椭圆C：1(ab0)的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得F1PF2120，则椭圆C离心率的取值范围是_答案解析当点P在短轴端点时，F1PF2达到最大值，即F1BF2120时，椭圆上存在点P使得F1PF2120，当F1BF2120时，esin60，而椭圆越扁，F1BF2才可能越大，椭圆越扁，则其离心率越接近1，所以椭圆C离心率的取值范围是.
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