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第一节导数的概念及运算突破点一导数的运算1导数的概念称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率li li 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .称函数f(x)li 为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c (c为常数)f(x)f(x)sin xf(x)cos_xf(x)exf(x)f(x)ln xf(x)基本初等函数导函数f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)logax(a0，a1)f(x)3.导数运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)的计算结果相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()答案：(1)(2)(3)二、填空题1函数yxcos xsin x的导数为_答案：xsin x2已知f(x)138x2x2，f(x0)4，则x0_.解析：f(x)84x，f(x0)84x04，解得x03.答案：33已知函数f(x)fcos xsin x，则f的值为_解析：f(x)fsin xcos x，ff，得f1.f(x)(1)cos xsin x.f1.答案：11已知函数f(x)，则其导函数f(x)()A.B.C1x D1x解析：选B函数f(x)，则其导函数f(x)，故选B.2(2019枣庄三中质检)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()Ae B1C1 De解析：选C由题可得f(x)2f(1)，则f(1)2f(1)1，解得f(1)1，所以选C.3函数f(x)xsincos，则其导函数f(x)_.解析：f(x)xsincosxsin(4x)xsin 4x，f(x)sin 4xx4cos 4xsin 4x2xcos 4x.答案：sin 4x2xcos 4x导数运算的常见形式及其求解方法连乘积形式先展开化为多项式的形式，再求导分式形式观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导对数形式先化为和、差的形式，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导含待定系数如含f(x0)，a，b等的形式，先将待定系数看成常数，再求导复合函数确定复合关系，由外向内逐层求导1设f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，则x0等于()Ae2 B1Cln 2 De解析：选Bf(x)2 019ln x12 020ln x，由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，则ln x00，解得x01.2(2019长沙长郡中学一模)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)()A26 B29C212 D215解析： 选Cf(x)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)，所以f(0)a1a2a3a8(a1a8)4(24)4212.故选C.突破点二导数的几何意义函数f(x)在点x0处 的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)特别地，如果曲线yf(x)在点(x0，y0)处的切线垂直于x轴，则此时导数f(x0)不存在，由切线定义可知，切线方程为xx0.一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(2)求曲线过点P的切线时P点一定是切点()答案：(1)(2)二、填空题1已知函数f(x)axln xb(a，bR)，若f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，则ab_.解析：由题意，得f(x)aln xa，所以f(1)a，因为函数f(x)的图象在x1处的切线方程为2xy0，所以a2，又f(1)b，则21b0，所以b2，故ab4.答案：42曲线ylog2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于_解析：y，切线的斜率k，切线方程为y(x1)，所求三角形的面积S1log2e.答案：log2e3设函数f(x)gx2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为9xy10，则曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为_解析：由已知得g(1)9，g(1)8，又f(x)g2x，f(2)g(1)44，f(2)g(1)44，所求切线方程为y4(x2)，即x2y60.答案：x2y60考法一求切线方程“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点曲线在某点处的切线，若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不止一条切线与曲线的公共点不一定只有一个例1已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.方法技巧求切线方程问题的2种类型及方法(1)求“在”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为kf(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)(2)求“过”曲线yf(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即：设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为yy1f(x1)(xx1)；根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线yf(x)上，得到方程组求出切点A(x1，y1)，代入方程yy1f(x1)(xx1)，化简即得所求的切线方程 考法二求切点坐标例2(2019柳州一模)已知函数f(x)e2x1，直线l过点(0，e)且与曲线yf(x)相切，则切点的横坐标为()A1B1C2 De1解析设切点为(x0，e2x01)，f(x)2e2x1，2e2x01，化简得2x01e22x0.令y2x1e22x，则y22e22x0.x1时，y0，x01.故选A.答案A方法技巧求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标 考法三求参数值或范围例3(1)已知函数f(x)aln xbx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线xy10垂直，则a的值为()A1 B1C3 D3(2)(2019乐山调研)已知曲线f(x)e2x2exax1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是()A. B(3，)C. D(0,3)解析(1)由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)1，即aln 1b121，解得b1，所以f(x)aln xx2，故f(x)2x.则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率kf(1)a2，因为切线与直线xy10垂直，所以a21，即a3.(2)由题得f(x)2e2x2exa，则方程2e2x2exa3有两个不同的正解，令tex(t0)，且g(t)2t22ta3，则由图像可知，有g(0)0且0，即a30且48(a3)0，解得3a1，(0,1)又g(x)3a2sin x， 2sin x2,2，3a2sin x23a,23a，要使曲线f(x)上任意一点的切线l1，总存在曲线g(x)上一点处的切线l2，使得l1l2，则解得a.故选D.4.(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析：y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，解得a3.答案：3
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