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第28练压轴小题专练(2)明晰考情高考题中填空题的最后2或3个小题，往往出现逻辑思维深刻，难度高档的题目.考点一与向量有关的压轴小题方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.1.在ABC中，已知9，sinBcosAsinC，SABC6，P为线段AB上的点，且xy，则xy的最大值为_.答案3解析由题设sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinCsinCcosA，即sinAcosC0，也即cosC0，C90.又bccosA9，故b29，即b3.ab6，故a4，c5，故建立如图所示平面直角坐标系xCy，则A(3,0)，B(0,4)，则由题设可知P(x，y)，直线AB的方程为1且x0，y0，12，即xy3，当且仅当x，y2时“”成立.2.已知点O是ABC内部一点，且满足2340，则AOB，BOC，AOC的面积之比为_.答案423解析如图所示，延长OA，OB，OC，使OD2OA，OE3OB，OF4OC，2340，0，即O是DEF的重心，故DOE，EOF，DOF的面积相等，不妨令它们的面积均为1，则AOB的面积为，BOC的面积为，AOC的面积为，故AOB，BOC，AOC的面积之比为423.3.(2017江苏)如图，在同一个平面内，向量，的模分别为1,1，与的夹角为，且tan7，与的夹角为45.若mn(m，nR)，则mn_.答案3解析如图，过点C作CDOB交OA的延长线于点D.设m，n，则在ODC中有ODm，DCn，OC，OCD45，由tan7，得cos，又由余弦定理知，即得42nm0，即m105n，代入得12n249n490，解得n或n，当n时，m105b0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B，所以1，1，两式相减得，所以，所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为2，由题意得1，所以a24b24a24c2，即3a24c2，所以e2，又因为0e1，所以e1.7.等腰直角AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，AOB的面积是16，抛物线的焦点为F，若M是抛物线上的动点，则的最大值为_.答案解析因为等腰直角AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，所以可设A(a，a)(a0)，SAOBa2a16，得a4，将A(4,4)代入y22px，得p2，抛物线的方程为y24x，所以F(1,0).设M(x，y)，则x0，设t(00，yB0，则A，B，P，因为，所以，所以1，解得，又由，得，解得2，所以e.6.已知ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C，c2，当取得最大值时，的值为_.答案2解析设ABC的外接圆半径为R，则2R，bccosA2bcosA2sinBcosAsinBcosA，BA，cosAsincosA4cos2AsinAcosA2(1cos2A)sin2Asin2A2cos2A22sin2.0A，02A，2A0)，则SAMF2mm.又由，MNMF，AMN为等腰直角三角形，m21m，m2，AMF的面积为2.8.在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，ABBC2AD2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于点G，点P在上运动(如图).若，其中，R，则6的取值范围是_.答案2,2解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，E(2,1)，C(2,2)，D(0,1)，F.设P(cos，sin )，其中0，则(cos，sin )，(2,1)，(cos，sin )(2,1)，即解得62sin 2cos 2sin，0，22sin2，即6的取值范围是2,2.9.在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b2c2ab，且acsinB2sinC，则_.答案3解析由a2b2c2ab，得2cosC，即cosC，由acsinB2sinC，得，由，得ab2，所以abcosC23.10.设A，B，C是椭圆1(ab0)上的三个不同的点，若四边形OABC(其中O为坐标原点)为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为_.答案解析设点A(x1，y1)，C(x2，y2)，因为四边形OABC为矩形，所以点B(x1x2，y1y2)，则问题转化为方程组存在实数解的问题，展开第三个方程，整理得x1x2.易知直线OA和OC的斜率均存在，分别设为k，由得x，同理x，因此2，令tk2，则关于t的二次方程t2t10有正解，即240，且380，又ab，所以a23b2，所以e，故椭圆的离心率的最小值为.11.已知平面向量a，b满足|a|，|b|，|ab|1,3，则ab的取值范围是_.答案解析如图，设平面内a，b，|ab|.于是问题转化为在圆环1r3(r为圆的半径)上的两点A，B之间的距离在1,3之间，求的取值范围.易知，22，其中M为线段AB的中点.又129，故只需考虑2的取值范围，显然当A，B位于半径为3的圆周上，且AB的长度为1时，2取得最大值，为322，从而2的取值范围是02，因此022，从而，即ab的取值范围是.12.已知抛物线C：y22px(0p4)的焦点为F，点P为C上一动点，A(4,0)，B(p，p)，且PA的最小值为，则BF_.答案解析设P(x，y)且y22px，则PA，根号下二次函数的对称轴为x4p(0,4)，所以在对称轴处取得最小值，即，解得p3或5(舍去)，经检验p3符合题意.所以抛物线方程为y26x，B(3,3)，易知点B在抛物线上，所以BF3.
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