陕西省石泉县高中数学 第一章 计数原理小结复习（一）教案 北师大版选修2-3.doc

第一章 计数原理（复习一）一、两个计数原理1 精要总结（1）分类加法计数原理又称为分类计数原理、加法原理等应用此原理解题要注意以下几点：明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事当完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法都属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”分类加法计数原理的集合表述形式做一件事完成它的办法用集合S表示，S被划分成n类方法分别用集合S1，S2，S3，Sn表示，即S=S1S2S3Sn且SiSj=（ij；i，j=1，2，n），S1，S2，S3，Sn分别有m1，m2，mn个元素，则完成这件事共有的方法即集合S中元素的个数为m1+m2+mn如下图所示：（2）分步乘法计数原理又称为分步计数原理、乘法原理等应用此原理解题要注意以下三点：明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事要经过几步完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n步连续地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏可以用下图表示分步计数原理（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理常综合应用：在分类中又包含分步，或分步中包含分类，“类”“步”交融解决此类问题要注意根据所学认真分析，既要会合理分类，又能合理分步，解答时是先分类后分步，还是先分步后分类应视具体问题而定常见的问题一般是先分类后分步2 错例辨析例1 甲、乙、丙、丁四位女同学在课后练习打排球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中任一人，第二次由接球者再传给其他三人任一人，这样共传了4次，则第4次球仍回到甲的方法共有 ( ) A21种 B42种 C24种 D27种错解：分四步完成：第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人，有3种方法；第二步传给甲以外的2人，第三步又传给甲以外的2人，第四步再传给甲共有221种方法，因此一共有3221=12种方法错因分析：上述解法中漏掉了第二步可以在传回甲这种情况，正确解法如下：正解：分四步完成：第一步由甲传给乙、丙、丁中的一人，有3种方法；第二步应分二类考虑：第一类传给甲，则第三步传给乙、丙、丁均可，第四步再传给甲，共有131种方法；第二类不传给甲，则可传给甲以外的2人，第三步又传给甲以外的2人，第四步再传给甲共有221种方法，因此一共有3(131+221)=21种方法变式训练：甲、乙、丙、丁四位同学各自从家里拿来了互不相同的一本课外书，他们把四本不同的书籍放在一起，然后从中取一本别的同学的书进行交换看，则不同的取法共有（） A 6种 B 9种 C 11种 D 23种 答案:B解：第一步：四个人中的任意一人(例如甲)先取一本，则由题意知共有3 种取法；第二步：由第一人取走的书的供书人取，也有3种取法；第三步：由剩余的两人中的任一人取，只有一种取法；第四步：最后一人取，只有一种取法由分步乘法计数原理，共有3311=9(种)故选B二、排列组合问题的综合应用1 精要总结排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关排列问题常见方法要熟悉，相邻用捆绑法、不相邻用插空法、特殊元素（位置）优先处理等，还常通过试验、画简图等手段使问题形象化，从而易于寻求解题途径由于结果的正确性难以直接检验因而常需要用不同的方法求解来获得检验组合问题解决的基本方法是按元素的性质进行分类、按事件发生的过程分步，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义，注意正难则反的思想的应用处理排列与组合的综合性问题应遵循的三大原则：先特殊后一般的原则、先选后排的原则、先分类后分步的原则按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”始终是处理排列、组合问题的基本原理，要通过解题训练积累分类和分步的基本技能，还要牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质，能熟练的进行运算2 错例辨析例2 从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（） A140种 B80种 C70种 D35种答案:C错解：至少要甲型和乙型电视机各一台，可这样取：甲型1台、乙型1台，从剩余部分再任意取一台；故不同的取法有台选A错因分析：甲型1台、乙型1台，剩余的随便取一台会出现重复，因此，我们需要详细将其中的情况分类，或者利用排除法解决正解：方法一：利用排除法，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种选方法二：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台选变式训练：在去年清华大学自主招生过程中，我市有4名学生通过了考核，其中只有3个专业可供这4名同学选择，每个专业至少要有一名同学填报，且甲、乙不能选择同一专业，则不同的填报方案种数为_种 答案:30解：先将4人分成三组，一组2人，其它两组各1人且甲、乙不在同一组，共有分组方法，3组同学分别填报3个专业共有填法根据分步计数原理可知,不同的填报方案种数为种例3 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A 4种 B 10种 C 18种 D 120种错解：赠送4人可以是2本画册2本集邮册，可有=72种赠法；还可以是1本画册3本集邮册，赠法有=48，所以赠法一共有72+48=120种，故选D 错解：由于相同的画册和相同的集邮册是无区分的，故只需分组不需再排序正解：赠送4人可以是2本画册2本集邮册，由于画册与集邮册都是相同的，可有种赠法；还可以是1本画册3本集邮册，赠法有，所以赠法一共有6+4=10种，故选B 变式训练：亚运会期间，某班有四名学生参加了志愿者工作将这四名学生分到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有( )A36种 B30种 C24种 D20种 答案：C 解：甲有两种选择，剩下的3个人可以每个展馆都分一人，也可以在其他两个展馆中一个展馆分两人，一个展馆分一人，所以不同的分配方案有=24种，故选C三、二项展开式通项公式以及系数性质的应用1 精要总结(1)运用二项式定理一定要牢记通项 (其中n，）注意(a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，因此一定要注意二项式中两项的顺序问题另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)的系数是两个不同概念，前者只指而后者是指除字母外的常数部分(2)求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求有时还需先根据已知条件求n后，再确定r，才能求出(3)有些三项展开问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏两个二项式乘积问题的解决也是类似，可以将其中一个比较简单的展开，逐项分析；也可以通过两个式子的通项乘积建立新的通项公式，然后在进行分析（4）求二项式所有项的系数和，可采用特殊值代入法，通常将字母变量赋值为l，-1或0； (5)用二项式定理证明整除问题，一般将被除式构造为关于除式的二项式的形式，再展开，常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识解决2 错例辨析例4 如果在（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项错解：前三项的系数为成等差数列，故可知2n=1+，整理可得n2-5n+2=0显然，不存在这样的n，故本题无解错因分析：对于二项式系数的定义与系数的定义理解不透彻，系数是指每项中除了字母之外的所有的常数正解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2=1+，得n=8设第r+1项为有理项，T=Cx，则r是4的倍数，所以r=0，4，8有理项为T1=x4，T5=x，T9=变式训练：的展开式中的系数是，如果展开式中第项和第项的二项式系数相等，则等于答案:9，2解：因为，令，即所以的系数为；又因为，所以或，所以（舍去）或