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专题12 直线与圆位置关系【母题原题1】【2018江苏，理12】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若，则点A的横坐标为_【答案】3点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.【母题原题2】【2017江苏，理13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .【答案】 【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 【母题原题3】【2016江苏，理18】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】 (3)设 【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题. 【命题意图】直线与圆是高中数学的C级知识点，是高中数学中数形结合思想的典型体现【命题规律】近年来，高考对直线与圆的命题，既充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，又保持与函数或不等式或轨迹相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显直线与圆的交汇价值【答题模板】解答本类题目，以2016年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：利用待定系数法求圆标准方程 第二步：根据圆中垂径定理揭示等量关系 第三步：利用圆与圆位置关系、坐标表示逐层揭示刻画多元关系【方法总结】1.以动点轨迹为圆考查直线与圆、圆与圆位置关系,突出考查方程思想和解析法2.以圆中直角三角形建立函数关系式或方程或不等式, 注重考查圆相关几何性质3.利用数形结合揭示与刻画直线与圆、圆与圆位置关系,重点考查直线与圆的综合应用以及数形结合的数学思想1【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知直线xyb0与圆交于不同的两点A，B若O是坐标原点，且，则实数b的取值范围是_【答案】点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题2【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知，若直线上总存在点，使得过点的的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，根据圆心O到直线的距离，进行求解即可得的范围.【详解】圆心为，半径，设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有，圆心O到直线的距离，即，即，解得或.故答案为：.【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.3【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】在平面直角坐标系中，圆与轴的两个交点分别为 ,其中在的右侧，以为直径的圆记为圆，过点作直线与圆，圆分别交于两点若为线段的中点，则直线的方程为_【答案】 点睛：（1）本题主要考查直线的方程，直线与圆的位置关系,要在考查学生对这些基础知识的掌握能力、基本的运算能力和分析推理能力. (2)涉及直线与曲线的问题，经常要联立直线与曲线的方程得到韦达定理，这是一个常规的方法技巧，大家要理解掌握并灵活运用.4【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是_【答案】.点睛:本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力. 5【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】如图，扇形的圆心角为90，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为_【答案】.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P, Q的坐标，再求出 的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P ，点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力. 6【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考数学试题】已知点，若圆上恰有两点，使得和的面积均为，则的取值范围是_.【答案】【解析】由题意可得|AB|=2，根据MAB和NAB的面积均为4，可得两点M，N到直线AB的距离为2；由于AB的方程为=，即x+y+3=0；若圆上只有一个点到直线AB的距离为2，则有圆心（2，0）到直线AB的距离为=r+2，解得r=；7【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为_【答案】19.【解析】根据题意画出上图，连接 ，过 作 ， ， 为 的中点， 为 的中点，又 ， ，四边形 为正方形，由圆的方程得到圆心，半径 ， 【点睛】本题的关键点有以下：1.利用数形结合法作辅助线构造正方形；2.利用勾股定理求解.8【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟数学试题】在平面直角坐标系中，若圆 上存在点，且点关于直线的对称点在圆 上，则的取值范围是_【答案】【解析】关于直线的对称圆，由题意，圆与圆有交点，所以，所以的范围是。点睛：本题考查直线和圆的位置关系。由题意，得到关于直线的对称圆，存在点满足条件，即圆与圆有交点，由图象特点得，求得的范围。直线和圆的题型充分利用图象辅助解题。9【2018年4月2018届高三第二次全国大联考（江苏卷）-数学】在平面直角坐标系中,若直线上存在一点,圆上存在一点,满足,则实数的取值范围为_.【答案】10【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试数学试题】在平面直角坐标系中，已知点， ，从直线上一点向圆引两条切线， ，切点分别为， .设线段的中点为，则线段长的最大值为_.【答案】【解析】由射影定理得 设 因为 ，所以 点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法：直接根据题目提供的条件列出方程定义法：根据圆、直线等定义列方程几何法：利用圆的几何性质列方程代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等
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