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第26练应用题明晰考情1.命题角度：应用题是江苏高考必考题，常见模型有函数、不等式、三角函数等.2.题目难度：中档难度.考点一建立函数模型方法技巧现实生活中存在的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决.1.某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)；若x大于或等于180，则销售量为零；当20x180时，q(x)ab(a，b为实常数).(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.解(1)当20x180时，由得故q(x)(2)设总利润f(x)xq(x)，由(1)得f(x)当0x20时，f(x)126000，f(x)在(0,20上单调递增，所以当x20时，f(x)有最大值120000.当20x180时，f(x)9000x300x，f(x)9000450，令f(x)0，得x80.当20x80时，f(x)0，f(x)单调递增，当80x180时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x80时，f(x)有最大值240000.当x180时，f(x)0.答当x为80时，总利润取得最大值240000元.2.如图是某设计师设计的Y型饰品的平面图，其中支架OA，OB，OC两两成120，OC1，ABOBOC，且OAOB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k(k为正常数)；在AOC区域(阴影区域)内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与AOC的面积成正比，比例系数为4k.设OAx，OBy.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求NM的最大值及相应的x的值.解(1)在AOB中，AOB120，OAx，OBy，ABy1.由余弦定理，得(y1)2x2y2xy，即y.由xy0，得x0，解得1x.所以y，x.(2)由(1)得Mkyk，N4kSAOC3kx，所以NMk，x.记f(x)3x4x2，x.则f(x)4，令f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x2f(x)0f(x)单调递增104单调递减由上表可知，f(x)maxf104.答当x2时，NM取最大值k(104).3.如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD，其四条边均为道路，ADBC，ADC90，AB5千米，BC8千米，CD3千米.现甲、乙两管理员同时从A地出发匀速前往D地，甲的路线是AD，速度为6千米/时，乙的路线是ABCD，速度为v千米/时.(1)若甲、乙两管理员到达D地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v的取值范围；(2)已知对讲机有效通话的最大距离是5千米，若乙先到达D地，且乙从A地到D地的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v的取值范围.解(1)由题意，可得AD12千米.由题意可知，解得v.(2)方法一设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故2，即v8.当0vt5，即0t时，f(t)(6t)2(vt)226tvtcosDABt2.因为v2v360，所以当t时，f(t)取最大值，所以225，解得v.当5vt13，即t时，f(t)(vt16t)29(v6)229.因为v8，所以，(v6)20，所以当t时，f(t)取最大值.所以(v6)22925，解得v.当13vt16，即t时，f(t)(126t)2(16vt)2，因为126t0,16vt0，所以f(t)在上单调递减，即当t时，f(t)取最大值.2225，解得v.综上所述，8v.方法二设经过t小时，甲、乙之间的距离的平方为f(t).由于乙先到达D地，故2，即v8.以A点为原点，AD为x轴建立直角坐标系，当0vt5时，f(t)22.由于2225，所以22对任意0t都成立，所以22v2，解得v.当5vt13时，f(t)(vt16t)232.由于(vt16t)23225，所以4vt16t4对任意t都成立，即对任意t都成立，所以解得v.当13vt16，即t时，f(t)(126t)2(16vt)2.由及知8v，于是0126t1212784，又因为016vt3，所以f(t)(126t)2(16vt)2423225恒成立.综上所述，8v.方法三首先，由乙先到达D地，得2，即v8.设从A地出发经过t小时，甲、乙两管理员的位置分别为P，Q，则(6t,0).当0t时，；当t时，(vt1,3)；当t时，(12,16vt)；当1)，离地面高am(1a2)的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB.(1)若a1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？(2)若tan，当a变化时，求x的取值范围.解(1)当a1.5时，过点C作AB的垂线，垂足为D，则BD0.5m，且ACDBCD，又观察者离墙xm，且x1，则tanBCD，tanACD.所以tantan(ACDBCD)，当且仅当x，即x1时取等号.又因为tan在上单调递增，所以当观察者离墙m时，视角最大.(2)由题意得tanBCD，tanACD，又tan，所以tantan(ACDBCD).所以a26a8x24x，当1a2时，0a26a83，所以0x24x3，即解得0x1或3x4.又因为x1，所以3x4，所以x的取值范围为3,4.7.某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3.问：P能否大于？并说明理由.解(1)依题意得ymknmk(ax5)，xN*.(2)方法一依题意x0.2a.所以P.故P不可能大于.方法二依题意得x0.2a.所以P.假设P，得ka220a25k0.因为k3，所以100(4k2)0，所以不等式ka220a25k0无解，与假设矛盾，故P.故P不可能大于.8.如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域.(1)设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值.解(1)如图1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，2AOH，因为cosAOH，要使有最小值，只需要d有最大值，结合图象，可得dOP5km，当且仅当ABOP时，dmax5km.此时min2AOH2.设AB把园区分成两个区域，其中较小区域的面积记为S，由题意得Sf()S扇形SAOB50(sin)，f()50(1cos)0恒成立，所以f()为增函数，所以Sminf50km2.答视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.图1(2)如图2，过O分别作OHAB，OH1CD，垂足分别是H，H1，记OHd1，OH1d2，由(1)可知d10,5，所以ddOP225，且d25d，因为AB2，CD2，所以ABCD2()2().记L(d1)ABCD2()可得L2(d1)41752，由d0,25可知，当d0或d25时，L2(d1)的最小值是100(74)，从而ABCD的最小值是(2010)km.答两条公路长度和的最小值是(2010)km.图2考点三建立三角模型方法技巧诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，可运用三角函数知识求解.9.如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解(1)由已知可设y40.540cost，t0，由周期为12分钟可知，当t6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6，即，所以y40.540cost(t0).(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米.由60.540.540cost0，得cost0，所以t0或t0，解得t04或t08，所以t8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12820(分钟).10.如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形PRQ构成，其中O为PQ的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C，D分别在线段QR，PR上，另外两个顶点A，B在半圆上，ABCDPQ，且AB，CD间的距离为1km.设四边形ABCD的周长为ckm.(1)若C，D分别为QR，PR的中点，求AB的长；(2)求周长c的最大值.解(1)如图，连结RO并延长分别交AB，CD于M，N，连结OB.因为C，D分别为QR，PR的中点，PQ2，所以CDPQ1.因为PRQ为等腰直角三角形，PQ为斜边，所以ROPQ1，NORO.因为MN1，所以MO.在RtBMO中，BO1，所以BM，所以AB2BM.(2)设BOM，0EF)，如图2所示，其中AEEFBF10m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.图1图2解设方案，中多边形苗圃的面积分别为S1，S2.方案设AEx，则S1x(30x)2(当且仅当x15时，“”成立).方案设BAE，则S2100sin(1cos)，.令S100(2cos2cos 1)0，得cos (cos 1舍去)，因为，所以，当变化时S，S2的变化情况如下：S0S2递增极大值递减所以当时，(S2)max75.因为75，所以建苗圃时用方案，且BAE.答方案苗圃的最大面积分别为m2,75m2，建苗圃时用方案，且BAE.2.经市场调查，某商品每吨的价格为x(1x0)；月需求量为y2万吨，y2x2x1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若a，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围.解(1)若a，由y2y1，得x2x1x2，解得40x6.因为1x14，所以1x6.设该商品的月销售额为g(x)，则g(x)当1x6时，g(x)xg(6).当6x0，得x0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，所以即解得0a.答(1)若a，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大；(2)若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是.3.如图，某城市有一个边长为4百米的正方形休闲广场，广场中间阴影部分是一个雕塑群.建立坐标系(单位：百米)，则雕塑群的左上方边缘曲线AB是抛物线y24x(1x3，y0)的一段.为方便市民，拟建造一条穿越广场的直路EF(宽度不计)，要求直路EF与曲线AB相切(记切点为M)，并且将广场分割成两部分，其中直路EF左上部分建设为主题陈列区.记M点到OC的距离为m(百米)，主题陈列区的面积为S(万平方米).(1)当M为EF的中点时，求S的值；(2)求S的取值范围.解(1)M点坐标为(m,2)，曲线AB方程为y2(1x3)，y，切线方程为y2(xm)，则点E，F坐标分别为(0，)，(4m,4)，因为M为EF的中点，所以44，即，所以点E，F坐标分别为，此时S.(2)由(1)知点E，F坐标分别为(0，)，(4m,4)，因为xF44m4(2)20，所以xF4，又yE0，所以直路EF左上部分为CEF，SCFCE(4m)(4)(m8m16)，1m3，令t，则1t，设Sf(t)(t38t216t)，f(t)(3t216t16)(3t4)(t4)，当1t时，f(t)0，f(t)单调递增；当t时，f(t)0，f(t)单调递减，所以Smaxf(t)maxf.因为f()f(1)，所以S的取值范围为.答(1)当M为EF的中点时，S的值为；(2)S的取值范围为.4.某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0t24)(h)的函数，记作yf(t)，下表是某天各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；(2)依据规定，当海浪高度不少于1m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8h至20h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？解(1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：依据散点图，可以选用函数yAsin(t)h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系.从表中数据和散点图，可知A，T12，所以12，得.又h1，于是ysin1.由图，知02k，kZ，又|，所以，从而ysin1，即ycost1(0t24).(2)由题意，可知y1，所以cost11，即cost0，所以2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ).又0t24，所以0t3或9t15或21t24.故一天内的8h至20h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9h至15h.
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