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考点规范练35数学归纳法基础巩固组1.用数学归纳法证明2n2n+1,n的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.4答案C解析当n=1时,21=2,21+1=3,2n2n+1不成立;当n=2时,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;当n=3时,23=8,23+1=7,2n2n+1成立.故n的第一个取值应是3.2.已知f(n)=1n+1n+1+1n+2+1n2,则()A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=12+13B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=12+13C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f(2)=12+13D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=12+13+14答案D解析总项数为n2-(n-1),f(2)=12+13+14.故选D.3.用数学归纳法证明“1+a+a2+an+1=1-an+21-a(a1,nN*)”,在验证n=1时,左端计算所得的结果是()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案C解析当n=1时,左边=1+a+a2.故选C.4.某个命题与自然数n有关,若n=k(kN*)时命题成立,则可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时,该命题不成立,则可推得()A.当n=6时,该命题不成立B.当n=6时,该命题成立C.当n=4时,该命题不成立D.当n=4时,该命题成立答案C解析因为当n=k时命题成立可推出当n=k+1时成立,所以当n=5时命题不成立,则当n=4时命题也一定不成立.5.对于不等式n2+nn+1(nN*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+213(n2,且nN*)”的过程中,由假设“n=k时”成立,推导“n=k+1时”也成立时,该不等式左边的变化是()A.增加13k+3B.增加13k+1+13k+2+13k+3C.增加13k+3并减少12k+1+12k+2D.增加13k+1+13k+2+13k+3并减少12k+1+12k+2答案D解析n=k+1时,不等式为12k+3+12k+4+13k+313,增加13k+1+13k+2+13k+3并减少12k+1+12k+2.故选D.11.已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)k2成立,则f(k+1)(k+1)2成立,下列命题成立的是()A.若f(3)9成立,且对于任意的k1,均有f(k)k2成立B.若f(4)16成立,则对于任意的k4,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则对于任意的k7,均有f(k)42,所以对于k4,均有f(k)k2.仅有D选项符合题意.12.用数学归纳法证明3(2+7k)能被9整除,证明n=k+1时,应将3(2+7k+1)配凑成()A.6+217kB.3(2+7k)+21C.3(2+7k)D.21(2+7k)-36答案D解析要配凑出归纳假设,即3(2+7k+1)=3(2+77k)=6+217k=21(2+7k)-36.故选D.13.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(n)=()(n3).A.(n+1)(n-2)B.12(n+1)(n-2)C.n(n-1)D.12n(n-1)答案B解析f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+(n-1)=2+3+4+(n-1)=12(n+1)(n-2)(n3).14.若不等式1n+1+1n+2+13n+1a24对一切正整数n都成立,正整数a的最大值为.答案25解析当n=1时,11+1+11+2+13+1a24,即2624a24,所以a2524.(1)当n=1时,已证得不等式成立.(2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立,即1k+1+1k+2+13k+12524.则当n=k+1时,有1(k+1)+1+1(k+1)+2+13(k+1)+1=1k+1+1k+2+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+12524+13k+2+13k+4-23(k+1).因为13k+2+13k+4-23(k+1)=6(k+1)(3k+2)(3k+4)-23(k+1)=18(k+1)2-2(9k2+18k+8)(3k+2)(3k+4)(3k+3)=2(3k+2)(3k+4)(3k+3)0,所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知,对一切正整数n,都有1n+1+1n+2+13n+12524,所以a的最大值等于25.15.(2018浙江衢州模拟)在数列an中,已知a1=a(a2),且an+1=an22(an-1)(nN*).(1)用数学归纳法证明an2(nN*);(2)求证:an+12,命题成立.假设当n=k(kN*,k1)时,命题成立,即ak2.则当n=k+1时,ak+1-2=ak22(ak-1)-2=(ak-2)22(ak-1)0,所以当n=k+1时ak+12也成立,由知对任意正整数n,都有an2.(2)an+1-an=an22(an-1)-an=an(2-an)2(an-1),由(1)可知an20,所以an+1an.16.(2018浙江宁波效实中学高三期中)已知数列an,a1=3,an+1=3an-4an-1(nN*).(1)求a2,a3,a4的值,并猜想an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.(1)解因为a1=3,且an+1=3an-4an-1,所以a2=33-43-1=52,a3=352-452-1=73,a1=373-473-1=94,由此猜想an=2n+1n.(2)证明当n=1时,a1=21+11=3,满足要求,猜想成立;假设n=k(k1且kN*)时,猜想成立,即ak=2k+1k,那么当n=k+1时,ak+1=3ak-4ak-1=32k+1k-42k+1k-1=2k+3k+1=2(k+1)+1k+1,这就表明当n=k+1时,猜想成立,根据可以断定,对所有的正整数该猜想成立,即an=2n+1n.17.设a1=1,an+1=an2-2an+2+b(nN*).(1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式.(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有nN*成立?证明你的结论.(1)解法一a2=2,a3=2+1.再由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.从而(an-1)2是首项为0,公差为1的等差数列,故(an-1)2=n-1,即an=n-1+1(nN*).解法二a2=2,a3=2+1.可写为a1=1-1+1,a2=2-1+1,a3=3-1+1.因此猜想an=n-1+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即ak=k-1+1,则ak+1=(ak-1)2+1+1=(k-1)+1+1=(k+1)-1+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以an=n-1+1(nN*).(2)解法一设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).令c=f(c),即c=(c-1)2+1-1,解得c=14.下用数学归纳法证明加强命题a2nca2n+11.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=2-1,所以a214a31,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2kca2k+1f(a2k+1)f(1)=a2,即1ca2k+2a2.再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2)=a31.故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=14.解法二设f(x)=(x-1)2+1-1,则an+1=f(an).先证:0an1(nN*).当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上为减函数,从而0=f(1)f(ak)f(0)=2-11.即0ak+11,这就是说,当n=k+1时结论成立.故成立.再证:a2na2n+1(nN*).当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=2-1,有a2a3,即n=1时成立.假设n=k时,结论成立,即a2kf(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时成立.所以对一切nN*成立.由得a2na2n2-2a2n+2-1,即(a2n+1)2a2n2-2a2n+2,因此a2nf(a2n+1),即a2n+1a2n+2.所以a2n+1a2n+12-2a2n+1+2-1.解得a2n+114.综上,由,知存在c=14使a2nc2,所以n=k+1时,ak+12成立.综上可知,n2时,an2.(2)由an+1=n2+n+1n2+nan+12n=an+1n(n+1)an+12n得an+1-an=1n(n+1)an+12n,所以a2-a1=112a1+121,a3-a2=123a2+122,a4-a3=134a3+123,an+1-an=1n(n+1)an+12n.所以an+1-a1=112a1+123a2+1n(n+1)+121+122+12n.又a1=1,所以an+1=112a1+123a2+1n(n+1)an+1+121-12n1-12=112a1+123a2+1n(n+1)an+2-12n.
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