2020高考数学刷题首秧第六章立体几何考点测试41空间几何体的表面积和体积文含解析.docx

考点测试41空间几何体的表面积和体积高考概览考纲研读一、基础小题1若球的半径扩大为原来的2倍，则它的体积扩大为原来的()A2倍 B4倍 C8倍 D16倍答案C解析设原来球的半径为r，则现在球的半径为2r，则V原r3，V现(2r)3，故V现8V原故选C2一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A8 B6 C4 D答案C解析设正方体的棱长为a，则a38，a2而此正方体的内切球直径为2，S表4r243如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()A2 B4 C8 D4答案D解析由三视图知，原几何体为两个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面边长为1，斜高为1，所以这个几何体的表面积为S11844一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则此三棱柱的体积为()A B C2 D4答案B解析由侧视图可知直三棱柱底面正三角形的高为，容易求得正三角形的边长为2，所以底面正三角形面积为2再由侧视图可知直三棱柱的高为1，所以此三棱柱的体积为1故选B5已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是()A B C D答案C解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知，2rl，l2r，则圆锥的表面积S表r2(2r)2a，r2，2r6若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A10 cm3 B20 cm3 C30 cm3 D40 cm3答案B解析由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱ABCA1B1C1截去一个三棱锥B1ABC，则该几何体的体积为V34534520(cm3)故选B7某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()A4 B C D6答案B解析依题意，所求几何体是一个四棱台，其中上底面是边长为1的正方形、下底面是边长为2的正方形，高是2，因此其体积等于(1222)2故选B8某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的表面积为()A24(1) B24(22)C24(1) D24(22)答案B解析如图，由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖出两个圆锥体所得由图中知圆锥的半径为1，母线为，该几何体的表面积为S62221222124(22)，故选B9已知一个几何体的三视图如图所示，则其体积为()A10 B2 C2 D2答案D解析根据几何体的三视图还原其直观图如图所示，显然可以看到该几何体是一个底面长为2，宽为1，高为1的正棱柱与一个底面半径为1，高为1的圆柱组合而成，其体积为V2111212，故选D10我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)答案3解析由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为Vh(rrr中r下)9(10262106)588(立方寸)，降雨量为3(寸)11如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_答案解析易知该几何体是正四棱锥连接BD，设正四棱锥PABCD，由PDPB1，BD，则PDPB设底面中心O，则四棱锥高PO，则其体积是VSh1212如图，在平面四边形ABCD中，已知ABAD，ABAD1，BCCD5，以直线AB为轴，将四边形ABCD旋转一周，则所得旋转体的体积为_答案12解析由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个圆锥，如图1所示：如图2，过点C作CEAB，连接BD在等腰直角三角形ABD中，BD在BDC中，CD2BD2BC22BDBCcosDBC，所以2522510cosDBC，所以cosDBC，所以sinDBC因为CBE180ABDDBC135DBC，所以sinCBEsin(135DBC)cosDBCsinDBC在RtBCE中，CEBCsinCBE4，所以BE3，AE4所以圆台上、下底面圆的面积分别为S上，S下16，圆台体积V1(S上S下)AE28，圆锥体积V216316，所以旋转体体积VV1V212二、高考小题13(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36答案B解析由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V321463故选B14(2018浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8答案C解析由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底边的长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm，直四棱柱的高为2 cm故直四棱柱的体积V226 cm315(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10答案B解析根据题意，可得截面是边长为2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为2，所以其表面积为S2()22212故选B16(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8 B6 C8 D8答案C解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为AB2，tan30，所以BC12，从而求得CC12，所以该长方体的体积为V2228故选C17(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12 B18 C24 D54答案B解析如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM平面ABC时，三棱锥DABC体积最大，此时，ODOBR4SABCAB29，AB6，点M为三角形ABC的重心，BMBE2，在RtOMB中，有OM2DMODOM426，(V三棱锥DABC)max9618故选B18(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_答案8解析如图所示，SAO30，ASB90，又SSABSASBSA28，解得SA4，所以SOSA2，AO2，所以该圆锥的体积为VOA2SO819(2018天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为_答案解析由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形，其边长为，即底面面积为，由正方体的性质知，四棱锥的高为故四棱锥MEFGH的体积V20(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_答案解析多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱锥的底面边长为，高为1，其体积为()21，多面体的体积为三、模拟小题21(2018邯郸摸底)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则()An4，V10 Bn5，V12Cn4，V12 Dn5，V10答案D解析由三视图可知，该几何体为直五棱柱，其直观图如图所示，故n5，体积V2222110故选D22(2018福州模拟)已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A4 B C D16答案D解析如图，可知球的半径R2，进而这个球的表面积为4R216故选D23(2018合肥质检一)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A518 B618C86 D106答案C解析该几何体的表面积是由球的表面积、球的大圆面积、半个圆柱的侧面积以及圆柱的纵切面面积组成从而该几何体的表面积为41212233286故选C24(2018石家庄质检二)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为()A B3 C8 D答案A解析根据三视图还原该几何体的直观图，如图中四棱锥PABCD所示，则VPABCDVPAFGD(VAFBDECVGECD)1122121故选A25(2018合肥质检三)我国古代的九章算术中将上、下两面为平行矩形的六面体称为“刍童”如图所示为一个“刍童”的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该“刍童”的表面积为()A12 B40C1612 D1612答案D解析易得侧面梯形的高为，所以一个侧面梯形的面积为(24)3故所求为432(24)1216故选D26(2018福建质检)已知底面边长为4，侧棱长为2的正四棱锥SABCD内接于球O1若球O2在球O1内且与平面ABCD相切，则球O2的直径的最大值为_答案8解析如图，正四棱锥SABCD内接于球O1，SO1与平面ABCD交于点O在正方形ABCD中，AB4，AO4在RtSAO中，SO2设球O1的半径为R，则在RtOAO1中，(R2)242R2，解得R5，所以球O1的直径为10当球O2与平面ABCD相切于点O且与球O1相切时，球O2的直径最大又因为SO2，所以球O2的直径的最大值为1028一、高考大题1(2016江苏高考)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知，O1O4PO18因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h连接O1B1因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调增函数；当2h6时，V0，V是单调减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大2(2018全国卷)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积解(1)证明：由已知可得BAC90，即ABAC又ABDA，且ACDAA，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC(2)由已知可得，DCCMABAC3，DA3又BPDQDA，所以BP2作QEAC，垂足为E，则QE綊DC由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1因此，三棱锥QABP的体积为V三棱锥QABPQESABP132sin451二、模拟大题3(2018武昌调研)如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积解(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1故所求几何体的表面积S522222()2224(cm2)，所求几何体的体积V23()2210(cm3)4(2018浙江杭州一模)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，各侧面是全等的等腰梯形，且各侧面的面积之和等于两底面面积之和，求棱台的体积解如图所示，在三棱台ABCABC中，O，O分别为上、下底面的中心，D，D分别是BC，BC的中点，则DD是等腰梯形BCCB的高，又CB20 cm，CB30 cm，所以S侧3(2030)DD75DDS上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下，得75DD325，所以DD(cm)，又因为OD20(cm)，OD305(cm)，所以棱台的高hOO4(cm)，由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(S上S下)1900(cm3)故棱台的体积为1900 cm3