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7.2等差数列及其前n项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其应用3.了解等差数列与一次函数的关系4.会用数列的等差关系解决实际问题.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题和填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差数列”是“A”的什么条件？提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数3如何推导等差数列的前n项和公式？提示利用倒序相加法题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)已知等差数列an的通项公式an32n，则它的公差为2.()(5)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(6)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()题组二教材改编2P46A组T2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31B32C33D34答案B解析由已知可得解得S88a1d32.3P39T5在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.题组三易错自纠4一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()AdBdC.dD.d答案D解析由题意可得即所以0，a7a100，所以a80.又a7a10a8a90，所以a90，S140，S140，a1a14a7a80，a80，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.1已知等差数列an的前n项和为Sn，若S23，S4S631，则S8S10等于()A91B85C78D55答案A解析方法一设an的公差为d，则即解得故S8S1091.方法二因为an是等差数列，所以可设Snan2bn，则即解得ab，故S8S1091.2(2018嘉兴基础测试)在等差数列an中，a13，a1a2a321，则a3a4a5等于()A45B42C21D84答案A解析根据等差数列的性质，可得a1a2a33a221，a27，设等差数列an的公差为d，又a13，d4，a3a4a53a43a26d212445，故选A.3(2018温州市适应性测试)已知数列an是公差不为0的等差数列，bn2an，数列bn的前n项和、前2n项和、前3n项和分别为A，B，C，则()AABCBB2ACC(AB)CB2D(BA)2A(CB)答案D解析令ann，则bn2n，设数列bn的前n项和为Sn，令AS12，则BS221226，CS321222314，可以排除选项A，B，C，故选D.4程大位算法统宗里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言务要分明依次弟，孝和休惹外人传”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为()A65B176C183D184答案D解析根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列an，其中d17，n8，S8996.由等差数列前n项和公式可得8a117996，解得a165.由等差数列通项公式得a865(81)17184.5(2018浙江杭州二中期中)已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A5B4C3D2答案B解析由等差数列前n项和性质知，6，故当n1,2,4,10时，为整数，故使得为整数的正整数n的个数是4，故选B.6在等差数列an中，若0时，n的最小值为()A14B15C16D17答案C解析数列an是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，公差d0，首项a10，an为递增数列1，a8a90，由等差数列的性质知，2a8a1a150.Sn，当Sn0时，n的最小值为16.7(2018绍兴教学质量调测)已知数列an中，a33，an1an2，则a2a4_，an_.答案62n3解析因为an1an2，所以an为等差数列，所以公差d2，由a12d3得a11，所以an1(n1)22n3，a2a42a36.8在等差数列an中，若a7，则sin2a1cosa1sin2a13cosa13_.答案0解析根据题意可得a1a132a7，2a12a134a72，所以有sin2a1cosa1sin2a13cosa13sin2a1sin(22a1)cosa1cos(a1)0.9(2018浙江省部分重点中学调研)设等差数列an的前n项和为Sn，若S6S7S5，则使an0的最大正整数n_，满足SkSk10，a7S7S60，则使an0的最大正整数n6，S1111a60，S120，S1313a70，所以S12S130，即满足SkSk10的正整数k12.10已知数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，则an_.答案(n23n3)2解析数列是公差为2的等差数列，且a11，a39，(1)2(n1)，(1)2，3(1)2，a21.2n2，2(n1)22(n2)222122(n1)1n23n3.an(n23n3)2，n1时也成立an(n23n3)2.11已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明，bn1bn，bn是等差数列(2)解由(1)及b11.知bnn，an1，an.12(2018嘉兴基础测试)设数列an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且满足aaaa，S77.(1)求an和Sn；(2)试求所有正整数m，使得为数列an中的项解(1)设数列an的公差为d(d0)，S77，a41.又aaaa，即aaaa，a4a2(a3a5)2a4，因此有1a22，a23，2d4，d2，a15，因此有an2n7，Snn26n.(2)令2n7，令2m3t，则m，n，易知仅当t1时，n为正整数，m为正整数，因此可得m2时成立13设等差数列an的公差为，前8项和为6，记tank，则数列的前7项和是()A.B.C.D.答案C解析等差数列an的公差d为，前8项和为6，可得8a1876，解得a1，tanantanan111，则数列tanantanan1的前7项和为(tana8tana7tana7tana6tana2tana1)7(tana8tana1)77777.故选C.14(2018宁波模拟)已知an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，且Ananbn，Bnanbn，若A11，A23，则An_；若Bn为等差数列，则d1d2_.答案2n10解析因为an，bn是公差分别为d1，d2的等差数列，所以An也为等差数列，所以An1(n1)22n1，Bna1(n1)d1b1(n1)d2d1d2n2(a1d2b1d12d1d2)n(a1d1)(b1d2)，因为Bn为等差数列，所以由等差数列的通项公式的特征可知d1d20.15(2019绍兴期中)已知数列an的奇数项依次构成公差为d1的等差数列，偶数项依次构成公差为d2的等差数列(其中d1，d2为整数)，且对任意nN*，都有anan1，若a11，a22，且数列an的前10项和S1075，则d1_，a8_.答案311解析因为a11，a22，所以a31d1，a42d2，a512d1，对任意nN*，都有ana2，即1d12，解得d11；又所以解得1d1d212d1.因为S1075，所以51d152d275，所以d1d26，所以d26d1，所以1d16d112d1，解得d1.又d1，d2为整数，所以d13，所以d23.所以a82(41)d223311.16记m，若是等差数列，则称m为数列an的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1等差均值”为2，数列bn的“3n1等比均值”为3.记cnklog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有SnS6，求实数k的取值范围解由题意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，两式相减得an(n2，nN*)当n1时，a12，符合上式，所以an(nN*)又由题意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，两式相减得bn32n(n2，nN*)当n1时，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)所以cn(2k)n2k1.因为对任意的正整数n都有SnS6，所以解得k.
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