资源描述
2.立体几何1如图，已知正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，点M在线段ED上，ADCD，ABCD，ABADCD1.(1)当M为线段ED的中点时，求证：AM平面BEC；(2)求直线DE与平面BEC所成角的正弦值(1)证明取EC的中点N，连接MN，BN，如图在EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MNCD，且MNCD.又ABCD，ABCD，所以MNAB，且MNAB.由此可知四边形ABNM为平行四边形，所以BNAM，又BN平面BEC，且AM平面BEC，所以AM平面BEC.(2)解在正方形ADEF中，EDAD，因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以ED平面ABCD，而BC平面ABCD，所以EDBC.在直角梯形ABCD中，ABAD1，CD2，易得BC，连接BD，在BCD中，BDBC，CD2，所以BD2BC2CD2，所以BCBD，又BDEDD，BD，ED平面BDE，所以BC平面BDE，而BC平面BCE，所以平面BDE平面BCE.过点D作DHEB，交EB于点H，则DH平面BCE，所以DEH为直线DE与平面BEC所成的角在RtBDE中，BE，SBDEBDDEBEDH，所以DH，所以sinDEH.所以直线DE与平面BEC所成角的正弦值为.2如图，在所有棱长均相等的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是棱AA1，CC1，AB的中点(1)证明：BE平面CDF；(2)求直线EF与平面CDF所成角的正弦值(1)证明方法一连接AE交CD于G，连接GF，如图1.因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以G是AE的中点在ABE中，GF是中位线，所以GFBE.又GF平面CDF，BE平面CDF.所以BE平面CDF.图1图2方法二连接A1B，A1E，如图2.在A1AB中，DF是中位线，所以DFA1B.又A1B平面CDF，DF平面CDF，所以A1B平面CDF.因为D，E分别是棱AA1，CC1的中点，所以A1DCE，且A1DCE，所以四边形A1ECD是平行四边形，故A1ECD.又A1E平面CDF，CD平面CDF，所以A1E平面CDF.又A1BA1EA1，所以平面A1BE平面CDF，又BE平面A1BE，所以BE平面CDF.(2)解方法一如图2，连接AB1，因为四边形AA1B1B是正方形，所以A1BAB1.又DFA1B，所以AB1DF.因为ABC是正三角形，F是AB的中点，所以CFAB.又平面AA1B1B平面ABC，平面AA1B1B平面ABCAB，CF平面ABC，所以CF平面AA1B1B.而AB1平面AA1B1B，所以CFAB1，又DFCFF，且DF，CF平面CDF，所以AB1平面CDF.取BB1的中点H，连接HF，HE，则HFAB1，HF平面CDF.所以EFH是直线EF与平面CDF所成角的余角设直三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，则在EFH中，FH，EHEF2.所以cosEFH.故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为.方法二以点F为坐标原点，BF，CF所在直线分别为x轴，y轴建立如图3所示的空间直角坐标系设直三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，则F(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,1)，E(0，1)图3所以(0，0)，(1,0,1)设平面CDF的法向量为n(x，y，z)，则所以则n(1,0,1)为平面CDF的一个法向量，又(0，1)所以cos，n.故直线EF与平面CDF所成角的正弦值为.3如图，在四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，ABAD，连接AO.(1)求证：AO平面BCD；(2)求直线AB与平面ACD所成角的余弦值(1)证明如图，连接OC，因为ABAD，O是线段BD的中点，所以AOBD，同理可得COBD.又在ABD中，ABAD，BD2，所以AO1，在BCD中，CBCDBD2，所以CO，又AC2，所以AO2OC2AC2，所以AOC90，即AOOC.又OCBDO，OC，BD平面BCD，所以AO平面BCD.(2)解方法一如图，过点B作BM平面ACD于点M，连接AM，则BAM为直线AB与平面ACD所成的角，由VABCDVBACD，可得AOSBCDBMSACD，因为AO1，SBCD2，SACD，所以BM.在RtAMB中，AM.所以cosBAM.所以直线AB与平面ACD所成角的余弦值为.方法二以O为坐标原点，OB，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)所以(1,0，1)，(0，1)，设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则所以令y1，得n(，1，)是平面ACD的一个法向量又(1,0，1)，所以cosn，故直线AB与平面ACD所成角的余弦值为.4在如图所示的直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是BC，A1B1的中点(1)求证：DE平面ACC1A1；(2)若ABBC，ABBC，ACB160，求直线BC与平面AB1C所成角的正切值(1)证明取AB中点F，连接DF，EF.在ABC中，因为D，F分别为BC，AB的中点，所以DFAC，又DF平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，所以DF平面ACC1A1.在矩形ABB1A1中，因为E，F分别为A1B1，AB的中点，所以EFAA1，又EF平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以EF平面ACC1A1.因为DFEFF，所以平面DEF平面ACC1A1.因为DE平面DEF，故DE平面ACC1A1.(2)解因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BCBB1，又ABBC，ABBB1B，所以BC平面ABB1A1.因为ABBC，BB1BB1，所以ABB1CBB1，AB1CB1，又ACB160，所以AB1C为正三角形，所以AB1ACAB，所以BB1AB.取AB1的中点O，连接BO，CO，所以AB1BO，AB1CO，所以AB1平面BCO，所以平面AB1C平面BCO，点B在平面AB1C上的射影在CO上，所以BCO即为直线BC与平面AB1C所成的角在RtBCO中，BOABBC，所以tanBCO.5如图，在三棱锥DABC中，DADBDC，点D在底面ABC上的射影为点E，ABBC，DFAB于点F.(1)求证：平面ABD平面DEF；(2)若ADDC，AC4，BAC60，求直线BE与平面DAB所成角的正弦值(1)证明如图，由题意知DE平面ABC，所以ABDE，又ABDF，DEDFD，DE，DF平面DEF，所以AB平面DEF，又AB平面ABD，所以平面ABD平面DEF.(2)解方法一由DADBDC知EAEBEC，所以E是ABC的外心又ABBC，所以E为AC的中点过点E作EHDF于点H，则由(1)知EH平面DAB，所以EBH即为BE与平面DAB所成的角由AC4，BAC60得BEDE2，EF，所以DF，EH，所以sinEBH.方法二如图建立空间直角坐标系，则A(0，2,0)，D(0,0,2)，B(，1,0)，所以(0，2，2)，(，1，2)，(，1,0)，设平面DAB的法向量为n(x，y，z)，由得取n.设与n的夹角为，所以cos，所以BE与平面DAB所成角的正弦值为.6如图，在矩形ABCD中，已知AB2，AD4，点E，F分别在AD，BC上，且AE1，BF3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上(1)求证：CDBE；(2)求线段BH的长度；(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值(1)证明BH平面CDEF，CD平面CDEF，BHCD，又CDDE，BHDEH，BH，DE平面DBE，CD平面DBE，又BE平面DBE，CDBE.方法一(2)解设BHh，EHk，过F作FG垂直ED于点G，连接FH，BE.线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得即解得线段BH的长度为2.(3)解延长BA交EF于点M，AEBFMAMB13，点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，点A到平面EFCD的距离为，而AF，设AF与平面EFCD所成角为，直线AF与平面EFCD所成角的正弦值为sin.方法二(2)解如图，过点E作ERDC，过点E作ES平面EFCD，分别以ER，ED，ES为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设点B(0，y，z)(y0，z0)，由于F(2,2,0)，BE，BF3，解得于是B(0,1,2)，线段BH的长度为2.(3)解从而(2，1,2)，故，设平面EFCD的一个法向量为n(0,0,1)，直线AF与平面EFCD所成角的大小为，则sin.
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