（通用版）2019高考数学二轮复习 第二篇 第8练 正弦定理、余弦定理及应用精准提分练习 文.docx

第8练正弦定理、余弦定理及应用明晰考情1.命题角度：考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，常与三角恒等变换相结合.2.题目难度：单独考查正弦、余弦定理时，难度中档偏下；和三角恒等变换交汇考查时，中档难度.考点一正弦定理、余弦定理方法技巧(1)分析已知的边角关系，合理设计边角互化.(2)结合三角函数公式，三角形内角和定理，大边对大角等求出三角形的基本量.1.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cosA，则b等于()A.B.C.2D.3答案D解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，即5b2222b2，解得b3，故选D.2.(2018全国)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB等于()A.4B.C.D.2答案A解析cos，cosC2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC521225132，AB4.故选A.3.(2017全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosBacosCccosA，则B_.答案解析方法一由2bcosBacosCccosA及正弦定理，得2sinBcosBsinAcosCsinCcosA.2sinBcosBsin(AC).又ABC，ACB.2sinBcosBsin(B)sinB.又sinB0，cosB.又B(0，)，B.方法二在ABC中，由余弦定理，得acosCccosAacb，条件等式变为2bcosBb，cosB.又0B，B.4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a23b23c22bcsinA，则C_.答案解析由余弦定理，得a2b2c22bccosA，所以b2c22bccosA3b23c22bcsinA，sinAcosA，b，c0，2sin2，当且仅当bc时，等号成立，因此bc，A，所以A，所以C.考点二与三角形的面积有关的问题要点重组三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高).(2)SabsinCbcsinAcasinB.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆的半径).5.(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C等于()A.B.C.D.答案C解析SabsinCabcosC，sinCcosC，即tanC1.又C(0，)，C.6.钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC等于()A.5B.C.2D.1答案B解析SABBCsinB1sinB，sinB，B或.当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1225，AC，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当B时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcosB1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意.故AC.7.(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinCcsinB4asinBsinC，b2c2a28，则ABC的面积为_.答案解析bsinCcsinB4asinBsinC，由正弦定理得sinBsinCsinCsinB4sinAsinBsinC.又sinBsinC0，sinA.由余弦定理得cosA0，cosA，bc，SABCbcsinA.8.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为_.答案8解析cosA，A，sinA，SABCbcsinAbc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252.由余弦定理，得a2b2c22bccosA5222464，a8.考点三解三角形中的最值(范围)问题方法技巧由余弦定理中含两边和的平方(如a2b22abcosCc2)且a2b22ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用SabsinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.9.在ABC中，|3，则ABC的面积的最大值为()A.B.C.D.3答案B解析设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，|3，即bccosA3，a3，cosA11，cosA，0sinA，0tanA.ABC的面积SbcsinAtanA，故ABC面积的最大值为.10.已知a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，其面积满足SABCa2，则的最大值为()A.1B.C.1D.2答案C解析根据题意，有SABCa2bcsinA，即a22bcsinA.应用余弦定理，可得b2c22bccosAa22bcsinA，令t，于是t212tcosA2tsinA.于是2tsinA2tcosAt21，所以2sint，从而t2，解得t的最大值为1.11.已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，满足cosAsinBsinCcosBsinAsinC2cosCsinAsinB，则C的最大值为_.答案解析由正弦定理，得bccosAaccosB2abcosC，由余弦定理，得bcac2ab，a2b22c2，cosC，当且仅当ab时，取等号.0C，00，tanB0.所以tan(AB)，当且仅当3tanB，即tanB时，tan(AB)取得最大值，所以B.1.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且abc，a2b2c2，则角A的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析因为a2b2c2，所以cosA0，所以A为锐角.又因为abc，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.2.在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若Sa2(bc)2，则cosA等于()A.B.C.D.答案D解析由Sa2(bc)2，得a2b2c22bc.由余弦定理，可得sinA1cosA，结合sin2Acos2A1，可得cosA.3.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记S为ABC的面积，若A60，b1，S，则c_，cosB_.答案3解析因为A60，b1，SbcsinA1c，解得c3.由余弦定理，可得a，所以cosB.解题秘籍(1)解三角形时要依据三角形的形状及边角大小正确处理多解问题.(2)对已知关系式进行转化时，一定要等价变形，尤其注意式子两边不可随意同除以同一个式子.1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，B45，则角A等于()A.60B.120C.90D.60或120答案D解析由正弦定理可知，即2，所以sinA，因为ab，所以A45，所以A60或A120.故选D.2.在ABC中，若3，b2a2ac，则cosB的值为()A.B.C.D.答案D解析由题意知，c3a，b2a2acc22accosB，所以cosB.3.已知在ABC中，(abc)(sinAsinBsinC)asinB，其中A，B，C为ABC的内角，a，b，c分别为A，B，C的对边，则C等于()A.B.C.D.答案B解析因为(abc)(sinAsinBsinC)asinB，所以由正弦定理，可得(abc)(abc)ab，整理得c2a2b2ab，所以cosC，因为C(0，)，所以C.故选B.4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a1，2bc2acosC，sinC，则ABC的面积为()A.B.C.或D.或答案C解析因为2bc2acosC，所以由正弦定理可得2sinBsinC2sinAcosC，所以2sin(AC)sinC2sinAcosC.所以2cosAsinCsinC，又sinC0，所以cosA，因为A(0，180)，所以A30，因为sinC，所以C60或120.当C60时，A30，所以B90，又a1，所以ABC的面积为12；当C120时，A30，所以B30，又a1，所以ABC的面积为11，故选C.5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB，则tanB等于()A.B.1C.2D.2答案D解析由余弦定理，得a2c2b22accosB，再由，得accosB，所以tanB2.故选D.6.(2017山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sinB(12cosC)2sinAcosCcosAsinC，则下列等式成立的是()A.a2bB.b2aC.A2BD.B2A答案A解析等式右边sinAcosC(sinAcosCcosAsinC)sinAcosCsin(AC)sinAcosCsinB，等式左边sinB2sinBcosC，sinB2sinBcosCsinAcosCsinB.由cosC0，得sinA2sinB.根据正弦定理，得a2b.7.如图所示，一学生在河岸紧靠河边笔直行走，在A处时，经观察，在河对岸有一参照物C与学生前进方向成30角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75角，则河的宽度为()A.50(1)mB.100(1)mC.50mD.100m答案A解析在ABC中，BAC30，ACB753045，AB200，由正弦定理得BC100(m)，所以河的宽度为BCsin7510050(1)(m).8.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比.现已知墙角AOB120，当AOB的面积为时，就可起到保护作用.则当围栏的造价最低时，ABO等于()A.30B.45C.60D.90答案A解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低.设OAa，OBb，则由余弦定理得AB2a2b22abcos120a2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，又SAOBabsin120，所以ab4.故AB212，即AB的最小值为2.由ab及3ab12，得ab2.所以ABOBAO，故ABO30，故选A.9.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c1，B45，cosA，则b_.答案解析因为cosA，所以sinA，所以sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinBcos45sin45.由正弦定理，得bsin45.10.已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_.答案解析由正弦定理得(2b)(ab)c(cb)，即(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，所以cosA，因为A(0，)，所以A.又b2c2a2bc2bc4，即bc4，故SABCbcsinA4，当且仅当bc2时，等号成立，则ABC面积的最大值为.11.在ABC中，BC30，ABAC1，点E是线段AB的中点，CE的中垂线交线段AC于点D，则AD_.答案解析如图，设ADt，CE的中垂线交线段AC于点D，DECD1t.BC30，A120，又AE，在ADE中，由余弦定理，得DE2AE2AD22AEADcosA，即(1t)2t22t，化简得t，t.12.在ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且c1，acosBbcosA2ccosC，设h是边AB上的高，则h的最大值为_.答案解析由正弦定理及题意，得sinAcosBsinBcosA2sinCcosC，即sinC2sinCcosC，又sinC0，cosC，可解得sinC.又cosC，aba2b212ab1，即ab1，当且仅当ab时等号成立，SABCabsinC.又h是边AB上的高，SABCchh，h，则h的最大值为.