资源描述
第20练圆锥曲线的定义、方程与性质明晰考情1.命题角度：圆锥曲线的定义、方程与几何性质是高考考查的热点.2.题目难度：中等偏难.考点一圆锥曲线的定义及标准方程方法技巧(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.1.已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A.y21B.x21C.y21(y1) D.x21(x1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC|13，|BC|15，|AB|14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|20，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21B.x21C.1D.1答案A解析依题意得，又a2b2c25，联立得a2，b1.所求双曲线的方程为y21.3.已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是_.答案解析由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以|F1F2|PF2|21.4.已知P是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆(x3)2(y1)21上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则|PQ|PN|的最小值为_.答案3解析由抛物线方程y24x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合.过圆(x3)2(y1)21的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则|PQ|PN|的最小值等于|MH|13.考点二圆锥曲线的几何性质方法技巧(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.5.(2018全国)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.yxB.yxC.yxD.yx答案A解析双曲线1的渐近线方程为bxay0.又离心率，a2b23a2，ba(a0，b0).渐近线方程为axay0，即yx.故选A.6.(2018全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A.1B.2C.D.1答案D解析在RtPF1F2中，PF2F160，设椭圆的方程为1(ab0)，且焦距|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，由椭圆的定义可知，2a1，2c2，得a，c1，所以离心率e1.7.(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点，若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y22pb2ya2b20，y1y2.又|AF|BF|4|OF|，y1y24，即y1y2p，p，即，双曲线的渐近线方程为yx.8.已知A是双曲线1(a0，b0)的左顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是PF1F2的重心，若PF1，则双曲线的离心率为_.答案3解析因为PF1，所以PF1，所以(O为坐标原点)，即，所以e3.考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法.(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明.9.已知方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是()A.(，1) B.(2，)C.(1，)D.答案D解析由1转化成标准方程为1，假设焦点在x轴上，则2m(m1)0，解得m1；假设焦点在y轴上，则(m1)2m0，解得2m.综上可知，m的取值范围为.10.(2016四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D.1答案C解析如图，由题意可知F，设P点坐标为，显然，当y00时，kOM0时，kOM0.要求kOM的最大值，不妨设y00，则()，kOM，当且仅当y2p2时等号成立.故选C.11.过抛物线yax2 (a0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则_.答案解析显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为ykx，与yax2联立，消去y得ax2kx0，设A(x1，ax)，B(x2，ax)，则x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.12.(2018齐齐哈尔模拟)已知椭圆1(ab0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围为_.答案解析由已知得2b2，故b1，F1AB的面积为，(ac)b，ac2，又a2c2(ac)(ac)b21，a2，c，又2|PF1|2，1|PF1|24|PF1|4，14，即的取值范围为.1.若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A.32，) B.32，)C.D.答案B解析由题意，得22a21，即a，设P(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x12，因为x，所以的取值范围为32，).2.若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为_.答案1或1解析由题意，得所以所以b2a2c29.所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.故椭圆的方程为1或1.3.已知A(1,2)，B(1,2)，动点P满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.答案(1,2)解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹方程为(x1)(x1)(y2)(y2)0，即x2(y2)21，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.又双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即bxay0，由题意，可得1，即1，所以e1，故1e0，b0)的一条渐近线方程为yx，且与椭圆1有公共焦点，则C的方程为()A.1B.1C.1D.1答案B解析由yx，可得.由椭圆1的焦点为(3,0)，(3,0)，可得a2b29.由可得a24，b25.所以C的方程为1.故选B.3.(2017全国)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A.B.C.D.答案D解析因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0).因为PFx轴，所以可设点P的坐标为(2，yP).因为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D.4.已知直线l过点A(1,0)且与B：x2y22x0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的方程为()A.1B.x21C.1D.1答案D解析直线l的斜率存在，可设直线方程为yk(x1)，B：x2y22x0的圆心为(1,0)，半径为1，由相切可得圆心到直线的距离d1，即k，所以直线l的方程为y(x1)，故渐近线方程为yx，联立直线l和圆的方程，解得x，y，即D，设双曲线方程为y2x2m(m0)，代入点D，解得m，所以双曲线方程为1.5.(2017全国)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A.2B.C.D.答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得出圆心到渐近线的距离为.根据点到直线的距离公式，得，解得b23a2.所以C的离心率e2.故选A.6.(2018天津)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1答案C解析如图，不妨设A在B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，b3.又由e2，知a2b24a2，a.双曲线的方程为1.故选C.7.已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.答案A解析设M(c，m)(m0)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以，a3c，所以e.8.设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.3答案B解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，又r1r23b，故r1，r2.又r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故e，故选B.9.若双曲线x21的离心率为，则实数m_.答案2解析由双曲线的标准方程知，a1，b2m，c，故双曲线的离心率e，1m3，解得m2.10.(2017全国)已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|_.答案6解析如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，PMOF.由题意知，F(2,0)，|FO|AO|2.点M为FN的中点，PMOF，|MP|FO|1.又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3.由抛物线的定义知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.11.已知抛物线y22px(p0)上的一点M(1，t)(t0)到焦点的距离为5，双曲线1(a0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为_.答案3解析由题意知15，p8.M(1,4)，由于双曲线的左顶点A(a,0)，且直线AM平行于双曲线的一条渐近线，则a3.12.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上异于长轴端点的任意一点，若M是线段PF1上一点，且满足2，0，则椭圆C的离心率的取值范围为_.答案解析设P(x，y)(y0)，取MF1的中点N，由2知，解得点N，又0，所以，连接ON，由三角形的中位线可知，即(x，y)0，整理得(xc)2y2c2(y0)，所以点P的轨迹为以(c,0)为圆心，c为半径的圆(去除两点(0,0)，(2c,0)，要使得圆与椭圆有公共点，则acc，所以e，又0e1，所以椭圆的离心率的取值范围为.
展开阅读全文