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考点规范练40空间向量及其运算基础巩固组1.在下列命题中:若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z,使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故不正确;根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故错误;三个向量a,b,c中的任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故不正确.综上可知四个命题中正确的个数为0,故选A.2.(2017浙江台州统考)已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且ab,则实数m的值等于()A.32B.-2C.0D.32或-2答案B解析ab,2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin的值为()A.19B.459C.259D.23答案B解析如图,设正方体棱长为2,则易得CM=(2,-2,1),D1N=(2,2,-1),cos=CMD1N|CM|D1N|=-19,sin=1-192=459.4.已知在空间直角坐标系O-xyz中,A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17),则这四个点()A.共线B.共面C.不共面D.不能确定答案B解析易知AB=(3,4,5),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),设AD=xAB+yAC,则(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y),即9=3x+y,14=4x+2y,16=5x+2y,解得x=2,y=3,即AD=2AB+3AC,从而A,B,C,D四点共面.5.在四面体O-ABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,若OG=13OA+x4OB+x4OC,则使点G与点M,N共线的x的值为()A.1B.2C.23D.43答案A解析ON=12(OB+OC),OM=23OA.假设点G与点M,N共线,则存在实数使得OG=ON+(1-)OM=2(OB+OC)+2(1-)3OA,与OG=13OA+x4OB+x4OC比较可得2(1-)3=13,2=x4,解得x=1.故选A.6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.化简A1O-12AB-12AD=.答案A1A解析A1O-12AB-12AD=A1O-12(AB+AD)=A1O-AO=A1O+OA=A1A.7.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),|a|=6,且ab,则x+y=.答案1或-3解析ab,ab=4+4y+2x=0.又|a|=6=4+16+x2,x=4,y=-3,或x=-4,y=1.故x+y=1或x+y=-3.8.已知点O为空间直角坐标系的原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),且点Q在直线OP上运动,当QAQB取得最小值时,OQ的坐标是.答案43,43,83解析点Q在直线OP上,设点Q(,2),则QA=(1-,2-,3-2),QB=(2-,1-,2-2),QAQB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62-16+10=6-432-23.即当=43时,QAQB取得最小值-23.此时OQ=43,43,83.能力提升组9.已知向量a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为()A.5B.6C.2D.3答案C解析a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),|b-a|=(-1-t)2+(t-1)2+t2=3t2+2,当t=0时,|b-a|取得最小值2.故选C.10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a2答案C解析设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.AE=12(a+b),AF=12c,AEAF=12(a+b)12c=14(ac+bc)=14(a2cos60+a2cos60)=14a2.11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()A.105B.155C.45D.23答案B解析OE=12AC1=12(AB+AD+AA1),FD1=12AD+AA1,OEFD1=12(AB+AD+AA1)12AD+AA1=1212ABAD+ABAA1+12AD2+ADAA1+12AA1AD+AA12=12(2+4)=3.而|OE|=1222+22+22=3,|FD1|=5,cos=315=155.故选B.12.若a,b,c是空间的一个基底,且向量p=xa+yb+zc,则(x,y,z)叫向量p在基底a,b,c下的坐标.已知a,b,c是空间的一个基底,a+b,a-b,c是空间的另一个基底,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标是()A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3)D.(2,1,3)答案B解析设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为x,y,z,则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,p在a,b,c下的坐标为(4,2,3),p=4a+2b+3c,由得x+y=4,x-y=2,z=3,x=3,y=1,z=3,即p在a+b,a-b,c下的坐标为(3,1,3).13.已知e1,e2是空间单位向量,e1e2=12.若空间向量b满足be1=2,be2=52,且对于任意x,yR,|b-(xe1+ye2)|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0R),则|b|为()A.2B.8C.2D.22答案D解析设e3为空间单位向量,且满足e3e2,e3e1,|b-(x0e1+y0e2)|=1,故设b=x0e1+y0e2+e3,be1=2,即(x0e1+y0e2+e3)e1=2,得x0+12y0=2.又be2=52,即(x0e1+y0e2+e3)e2=52,得12x0+y0=52,解2x0+y0=4,x0+2y0=5得x0=1,y0=2,此时,b=e1+2e2+e3,|b|=e12+4e22+e32+4e1e2+2e2e3+4e2e3=1+4+1+412+0+0=8=22.14.如图,在平行六面体ABCD-EFGH中,棱AB,AD,AE的长分别为3,4,5,且EAD=EAB=DAB=120,设AB=a,AD=b,AE=c,则用a,b,c表示AG=;BH的长为.答案a+b+c57解析因为AG=AB+AD+AE=a+b+c,BH=AH-AB=AD+AE-AB=b+c-a,所以|BH|=(b+c-a)2=57.15.已知OA,OB,OC是空间两两垂直的单位向量,OP=xOA+yOB+zOC,且x+2y+4z=1,则|OP-OA-OB|的最小值为.答案22121解析根据题意可得|OP-OA-OB|=(x-1)2+(y-1)2+z2=(2y+4z)2+(y-1)2+z2=5y2+17z2+16yz-2y+1=17z+817y2+2117y-17212+1-1721421=22121.16.如图,四棱锥O-ABCD中,AC垂直平分BD,|OB|=2,|OD|=1,则(OA+OC)(OB-OD)的值是.答案3解析如图所示,四棱锥O-ABCD中,设AC,BD交于点E,由题意ACBD,DE=BE,所以OB+OD=2OE,EADB=ECDB.又|OB|=2,|OD|=1,所以(OA+OC)(OB-OD)=(OE+EA+OE+EC)(OB-OD)=(2OE+EA+EC)(OB-OD)=2OE(OB-OD)+(EA+EC)DB=(OB+OD)(OB-OD)=OB2-OD2=22-12=3.17.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.解(1)由题意可得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=ABAC|AB|AC|=-2+3+61414=714=12.所以sin=32,所以以AB,AC为边的平行四边形的面积为S=212|AB|AC|sin=1432=73.(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得x=1,y=1,z=1或x=-1,y=-1,z=-1.所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).18.(2018浙江嘉兴)已知BOD=120,OC是BOD的平分线,沿OC将DOC翻折到AOC的位置,使得AOB=60(如图),设OA=OB=OC=1,记OA=a,OB=b,OC=c,BC的中点为M,(1)试用a,b,c表示AC和OM;(2)求异面直线AC与OM所成角的余弦值.解(1)由题意知AC=OC-OA=c-a,BM=12BC=12(OC-OB)=c-b2,OM=OB+BM=b+c-b2=b+c2.(2)|a|=|b|=|c|=1,ab=ac=bc=12,|AC|=|c-a|=c2-2ca+a2=1,|OM|=b+c2=12b2+2bc+c2=32,ACOM=(c-a)b+c2=12(c2+bc-ab-ac)=14.设AC,OM的夹角为,则cos=ACOM|AC|OM|=36.故异面直线AC与OM所成角的余弦值为36.
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