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第4练平面向量明晰考情1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘(2)共线向量定理(3)平面向量基本定理方法技巧(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得st，且st1，s，tR.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决1(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A.B.C.D.答案A解析作出示意图如图所示()().故选A.2.如图，在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A.B.C1D3答案B解析，mm.又B，N，P三点共线，m.3.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则等于()A2B.C.D.答案D解析方法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，(1,1)，解得故.方法二以，作为基底，M，N分别为BC，CD的中点，又，因此解得所以.4已知AB，DC为梯形ABCD的两腰，若(1,3)，(1x，2x)，则x_.答案3解析由梯形的性质知，且同向，则12x3(1x)0，解得x3.5在ABC中，点M是线段BC延长线上一点，且满足BM3CM，若xy，则xy_.答案2解析因为，所以()，所以x，y，则xy2.考点二平面向量的数量积要点重组(1)ab|a|b|cos.(2)|a|2aa；cos.方法技巧(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法6已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ba)c，则的值为()ABC.D.答案A解析ba(1,0)(1,2)(1，2)，又c(3,4)，且(ba)c，所以(ba)c0，即3(1)243380，解得.7已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2BCD1答案B解析方法一(解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(1，0)，C(1,0)设P点的坐标为(x，y)，图则(x，y)，(1x，y)，(1x，y)，()(x，y)(2x，2y)2(x2y2y)22.当且仅当x0，y时，()取得最小值，最小值为.故选B.方法二(几何法)如图所示，2(D为BC的中点)，则()2.图要使最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2)min2|，问题转化为求|的最大值又当点P在线段AD上时，|2，|22，()min(2)min2.故选B.8已知向量，则ABC等于()A30B45C60D120答案A解析|1，|1，cosABC.又0ABC180，ABC30.9(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_答案解析由已知可得|ae|be|aebe|(ab)e|，由于上式对任意单位向量e都成立|ab|成立6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.10在平面内，6，动点P，M满足|2，则|2的最大值是_答案16解析由已知易得ABC是等边三角形且边长为2.设O是ABC的中心，则|2.以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(2,0)，B(1，)，C(1，)设P(x，y)，由已知|2，得(x2)2y24.，M，|2，它表示圆(x2)2y24上的点P(x，y)与点D(1，3)的距离的平方的，|max228，|16.考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题11(2018温州模拟)如图已知ABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若|1，|2，则的值为()A3B.C.D.答案B解析因为BC的垂直平分线交AC于Q，所以0，故选B.12如图，半径为1的扇形AOB中，AOB120，P是弧AB上的一点，且满足OPOB, M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为()A.B.C1D.答案C解析21|cos150|cos1201001，当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.13如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且xy，则的最小值为()A.B2C.D.答案D解析由题图可知x，y均为正，设mn，B，D，E，C共线，mn1，1，xy(m)(n)，则xymn2，当且仅当x，y时，等号成立则的最小值为，故选D.14(2018浙江省名校协作体联考)设数列xn的各项都为正数且x11.ABC内的点Pn(nN*)均满足PnAB与PnAC的面积比为21，若xn1(2xn1)0，则x4的值为()A15B17C29D31答案A解析由xn10得(2xn1)xn1，设(2xn1)，以线段PnA，PnD作出平行四边形AEDPn，如图，则xn1， , ，则，即xn12xn1，xn112(xn1), 则xn1构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以x4122316，所以x415.故选A.15在ABC中，ACB为钝角，ACBC1, xy且xy1，函数f(m)|m|的最小值为，则|的最小值为_答案解析在ABC中，ACB为钝角，ACBC1，函数f(m)的最小值为.函数f(m)|m|，化为4m28mcosACB10恒成立当且仅当mcosACB时等号成立，代入得到cosACB(舍去正值)，ACB.2x22y222xyx2y22xycosx2(1x)2x(1x)32，当且仅当xy时，2取得最小值，的最小值为.1对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2答案B解析选项B中，当向量a，b反向及不共线时，有|ab|，故B中关系式不恒成立2ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若0，且|，则等于()A.B.C3D2答案C解析0，故点O是BC的中点，且ABC为直角三角形，又ABC的外接圆的半径为1，|，BC2，AB1，CA，BCA30，|cos3023.3已知向量a(1,2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为锐角，则实数的取值范围是_答案解析ab(1，2)，由a(ab)0，可得.又a与ab不共线，0.故且0.4向量a，b满足|a|4，b(ab)0，若|ab|的最小值为2(R)，则ab_.答案8解析向量a，b满足|a|4，b(ab)0，即abb2.若|ab|2(R)，化为1622abab40对于R恒成立，4(ab)264(ab4)0，化为(ab8)20，ab8.解题秘籍(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质(2)注意向量夹角的定义和范围在ABC中，和的夹角为B；向量a，b的夹角为锐角要和ab0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理)1(2018金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足，且|a|b|c|4，则c(ab)的最大值为( )A1B2C3D4答案B解析由题意可得，可得a，c60，b，c60，故c(ab)，将|a|b|c|4两边同时乘以|c|，可得|a|c|b|c|c|24|c|，故c(ab)，故c(ab)max2.2若|1，|4，2，则ABC的面积是()A1B2C.D2答案C解析因为，所以，又|1，|4，所以|1，|4，2，即2.设与的夹角为，易知与BCA互为对顶角，所以BCA.由|cos14cos2，得cos，BCA是三角形的内角，sinBCAsin，所以SABC|sinBCA.3(2018诸暨月考)平行四边形ABCD中，在上的投影分别为3，1，则在上的投影的取值范围是()A(1，) B(1,3)C(0，) D(0,3)答案A解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，0)，CBD，则C(3，b)，D(a1，b), 则3(a1)a，解得a2.所以D(1，b)，C(3，b) .在上的投影为|coscos.当b0时，cos1，得BM1.当b时，0，得BM.故选A.4(2018浙江湖州、衢州、丽水三市联考)已知O是ABC的外心，C45，则mn(m，nR)，则mn的取值范围是()A， B，1)C，1 D(1，答案B解析由题意C45，所以AOB90，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，设C(cos，sin)，则，显然cossin，即mcos，nsin，mncossinsin，由于，所以，sin，所以mn，1)，故选B.5(2018浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A，B，C，则的值为()A正数B负数C0D以上说法都有可能答案B解析2()()()()()()()()(222)0，20，由|，得|1|2|，即1c2b，亦即，故选A.7(2018浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是()A2B1C0D1答案B解析连接BC，则ACB90，APPC，2，依题意可证RtAPCRtACB，则，即|PC|.|AC|2|CB|2|AB|2，|AC|2|CB|242|AC|CB|，即|AC|CB|2，当且仅当|AC|CB|时取等号，|PC|1，21，的最大值为1，故选B.8(2018浙江省嘉兴一中、杭州高级中学等联考)设a1，a2，a3，a4R，且a1a4a2a31，记f(a1，a2，a3，a4)aaaaa1a3a2a4，则f(a1，a2，a3，a4)的最小值为()A1B.C2D2答案B解析设m(a1，a2)，n，因为a1a4a2a30，所以m，n不共线，则f(a1，a2，a3，a4)|m|2|n|2mn，记cos，(0，)，则S|m|n|sin|m|n|a1a4a2a3|m|n|f(a1，a2，a3，a4)2|m|n|mn(利用三角函数的有界性)9(2018浙江省嘉兴市第一中学模拟)设e1，e2为单位向量，其中a2e1e2，be2，且a在b上的投影为2，则ab_，e1与e2的夹角为_答案2解析因为2，所以ab2.设e1与e2的夹角为，则2|e1|e2|cos12，解得cos，又因为0，所以.10在ABC中，AB3，AC2，A60，m，则的最小值为_，又若，则m_.答案解析因为|cosA3，所以22m222m29m26m4(3m1)23，所以当3m10时，取最小值；因为，所以(m1)m223(m1)9m40，解得m.11(2018浙江省杭州市第二中学月考)已知点M为单位圆x2y21上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x2上，则的最小值为_答案2解析设A(2，t)，M(cos，sin)0,2，则(cos2，sint)，(2，t)，所以4t22costsin.又(2costsin)max，故4t2.令s，则s2，又4t2s2s2，当s2即t0时等号成立，故min2.12若向量a，b满足a2abb21，则的最大值为_答案解析因为222a22b2，224ab，所以1，即1，即2，故.
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