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第16讲定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f(x)在区间a,b上连续,用分点a=x0x1xi-1xi0)上的连续的偶函数,则-aa f(x)dx=20a f(x)dx;如果f(x)是区间-a,a(a0)上的连续的奇函数,则-aa f(x)dx=0.题组一常识题1.教材改编 12 ex-2xdx=.2.教材改编 03 sin xdx=.3.教材改编 已知14 f(x)dx=8,则12 f(x)dx+24 f(x)dx=.4.教材改编 直线y=x-4、曲线y=2x及x轴所围成的封闭图形的面积是.题组二常错题索引:误解积分变量致错;定积分的值不一定是曲边梯形的面积;弄错原函数的定义域;f(x),g(x)的图像与直线x=a,x=b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错.5.定积分-12 (t2+1)dx=.6.曲线y=-x2(x-1,1)与x轴所围成的封闭图形的面积为.7.计算-2-1 1xdx=.8.直线x=0,x=2与曲线y=sin x,y=cos x所围成的封闭图形的面积S的定积分表达式是.探究点一定积分的计算例1 (1)已知函数f(x)=sinx,x-,0,1-x2,x(0,1,则-1 f(x)dx=()A.2+B.2C.-2+2D.4-2(2)2018湖北咸宁重点高中联考 若01 (ex-2ax)dx=e,则a=.总结反思 (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法.(2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.变式题 (1)2018曲靖一中月考 已知02 sin(x-)dx=74,则sin 2=()A.34B.916C.-34D.-34(2)2018莱芜模拟 12 2x+1xdx的值为.探究点二利用定积分求曲边梯形的面积例2 (1)2018贵阳模拟 若函数f(x)=Asinx-6(A0,0)的部分图像如图2-16-1所示,则图中阴影部分的面积为()图2-16-1A.12B.14C.2-34D.2-32(2)2018江西临川一中月考 已知曲线y=x,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积为S,则S=.总结反思 (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分.(2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.变式题 (1)如图2-16-2所示的阴影部分的面积为()图2-16-2A.42B.22C.2D.22(2)2018安徽江南十校联考 直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直,则直线l与E所围成的封闭图形的面积为()A.13B.113C.323D.283探究点三定积分在物理中的应用例3 两点之间相距112 m,一质点从一点出发,沿直线向另一点做变速直线运动,其速度方程是v=t+1(v的单位:m/s,t的单位:s).(1)计算该质点在前10 s所走的路程;(2)计算该质点在第5 s到第10 s所经过的路程;(3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在整个运动过程中的平均速度.总结反思 (1)做变速直线运动的物体在时间段a,b内所经过的路程S等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分,即S=ab v(t)dt.(2)一物体在变力F=F(x)的作用下,在位移区间a,b内所做的功W是函数F=F(x)在区间a,b上的定积分,即W=ab F(x)dx.变式题 一物体在变力F(x)=36x2(单位:N)的作用下沿力的正方向运动,求物体从x=8 m处运动到x=18 m处这一过程中,变力对物体所做的功.第16讲定积分与微积分基本定理考试说明 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【课前双基巩固】知识聚焦1.常数limni=1nb-anf(i)被积下上2.ab03.kab f(x)dxab f(x)dxab g(x)dxac f(x)dx+cb f(x)dx4.F(b)-F(a)对点演练1.e2-2ln 2-e解析 12 ex-2xdx=(ex-2ln x)12=e2-2ln 2-e.2.2解析 03 sin xdx=-cos x03=2. 3.8解析 12 f(x)dx+24 f(x)dx=14 f(x)dx=8.4.403解析 画出图形(图略)可知,所求的面积S=04 2xdx+48 2xdx-48 (x-4)dx=223x3204+223x3248-12(x-4)248=403.5.3t2+3解析 -12 (t2+1)dx=(t2+1)x-12=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.6.23解析 所求面积S=-11 (-x2)dx=201 x2dx=23.7.-ln 2解析 根据-2-1 1xdx的几何意义,可得-2-1 1xdx=-12 1xdx=-ln x12=-ln 2.本题若做成-2-1 1xdx=ln x-2-1则是错误的.8.S=02 |sin x-cos x|dx【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)根据定积分的几何意义、定积分的性质、微积分基本定理求解;(2)a是常量,确定原函数,建立关于a的方程求解.(1)D(2)-1解析 (1)-1 f(x)dx=-0 sin xdx+01 1-x2dx,又-0 sin xdx=-cos x-0=-2,01 1-x2dx的几何意义是以原点为圆心,1为半径的圆的面积的14,故01 1-x2dx=14,-1 f(x)dx=4-2,故选D.(2)01 (ex-2ax)dx=(ex-ax2)01=e-a-1=e,-a-1=0,a=-1.变式题(1)B(2)3+ln 2解析 (1)根据微积分基本定理,得02 sin(x-)dx=-cos(x-)02,即-cos2-+cos(-)=cos -sin =74,两边平方,得1-sin 2=716,所以sin 2=1-716=916,故选B.(2)12 2x+1xdx=(x2+ln x)12=4+ln 2-1-0=3+ln 2.例2思路点拨 (1)由图像求出函数解析式,然后利用定积分求得图中阴影部分的面积;(2)先作出草图(可略),确定被积函数与积分区间,再利用定积分求面积.(1)C(2)76解析 (1)由图像可知,A=1,T2=3-6=2,即T=,所以=2,所以f(x)=sin2x-6.所以图中阴影部分的面积S=-012 sin2x-6dx=12cos2x-6012=12cos6-6-cos-6=121-32=2-34,故选C.(2)由题意得,曲线y=x,y=2-x与x轴所围成的封闭图形的面积S=01 xdx+12 (2-x)dx=23x3201+2x-12x212=23+2-32=76.变式题(1)B(2)C解析 (1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积S=454 (sin x-cos x)dx=(-cos x-sin x)454=22,故选B. (2)由题意得,直线l的方程为x=2,将y2=8x化为y=22x.由定积分的几何意义得,所求面积S=202 (22x)dx=4202 x12dx=4223x3202=422322=323.例3思路点拨 第(1)(2)问只要根据定积分的物理意义求解即可,第(3)问先求函数v=t+1在0,x上的定积分,再求使得这个定积分等于112时的x值,x的值即为质点的运动时间.解:(1)该质点在前10 s所走的路程S1=010 (t+1)dt=12t2010+t010=60(m).(2)该质点在第5 s到第10 s所经过的路程S2=510 (t+1)dt=12t2510+t510=42.5(m).(3)设质点到达另一点所需要的时间为x,显然x0,则根据题意有0x (t+1)dt=112,即12t2+t0x=112,即12x2+x=112,即x2+2x=224,得x=14,则该质点到达另一点所需要的时间是14 s,整个运动过程中的平均速度是11214=8(m/s).变式题解:由题意得,变力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在8,18上的定积分,即818 F(x)dx=-36x-1818=(-3618-1)-(-368-1)=(-2)-92=52.从而可得变力F(x)在这一过程中所做的功为52 J.【备选理由】 例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几何概型结合起来考查.例1配合例1使用 2019深圳外国语学校月考 给出下列函数:f(x)=xsin x;f(x)=ex+x;f(x)=ln(1+x2-x).存在a0,使得-aa f(x)dx=0的函数是()A.B.C.D.解析 B对于,f(x)=xsin x是偶函数,当x(0,)时,f(x)0,当x(,2)时,f(x)0,作出f(x)=xsin x在0,2上的图像,如图所示,设曲线y=xsin x(x0,)与x轴围成的图形的面积为S1,曲线y=xsin x(x,2)与x轴围成的图形的面积为S2,由图可知S10(a0),即不存在满足题意的a;对于,f(x)=ln(1+x2-x)是奇函数,所以对于任意a0,-aa f(x)dx=0都成立.综上可知,中的函数满足题意.故选B.例2配合例1使用 已知函数y=f(x)的图像为如图所示的折线ABC,则-11 (x+1)f(x)dx=()A.2B.-2C.1D.-1解析 D由图易知f(x)=-x-1,-1x0,x-1,0x1,所以-11 (x+1)f(x)dx=-10 (x+1)(-x-1)dx+01 (x+1)(x-1)dx=-10 (-x2-2x-1)dx+01 (x2-1)dx=-13x3-x2-x-10+13x3-x01=-13-23=-1,故选D.例3配合例2使用 在直线x=0,x=1,y=0,y=e+1围成的区域内撒一粒豆子,则豆子落入曲线x=0,y=e+1,y=ex+1围成的区域内的概率为.答案 1e+1解析 由题意,直线x=0,x=1,y=0,y=e+1所围成的区域是一个长为e+1,宽为1的矩形,所以其面积S=1(e+1)=e+1.由y=e+1,y=ex+1,解得x=1,y=e+1,所以由曲线x=0,y=e+1,y=ex+1所围成的区域的面积S1=01 (e+1-ex-1)dx=01 (e-ex)dx=(ex-ex)01=1,故所求概率P=S1S=1e+1.
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