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课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通中学高三测试)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1)2，那么f(0)f(1)_.解析：因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(x)f(x)，f(1)f(1)2，f(0)0，所以f(0)f(1)2.答案：22(2018南京三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x2，则不等式f(x1)2的解集是_解析：偶函数f(x)在0，)上单调递增，且f(2)2.所以f(x1)2，即f(|x1|)f(2)，即|x1|2，所以1x3.答案：1,33函数f(x)x1，f(a)3，则f(a)_.解析：由题意得f(a)f(a)a1(a)12.所以f(a)2f(a)1.答案：14函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_.解析：因为f(x)为奇函数，x0时，f(x)1，所以当x0时，x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.答案：15(2019连云港高三测试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x，则f(2log35)_.解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(2log35)f(2log35)，由于当x0时，f(x)x，故f(2log35)f.答案：6(2018南通一调)若函数f(x)(a，bR)为奇函数，则f(ab)_.解析：法一：因为函数f(x)为奇函数，所以即解得经验证a1，b2满足题设条件，所以f(ab)f(1)1.法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，由题意知，当x0，二次函数的图象顶点坐标为，当x0，二次函数的图象顶点坐标为(1，a)，所以解得a1，b2，经验证a1，b2满足题设条件，所以f(ab)f(1)1.答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1(2018抚顺期末)设f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为_解析：f(x)是定义在2b,3b上的偶函数，2b3b0，b3，f(x)是定义在6,6上的偶函数，且在6,0上为增函数，f(x)在0,6上为减函数，由f(x1)f(3)，得|x1|3，解得2x4，f(x1)f(3)的解集为x|2x4答案：x|2x42(2019常州一中模拟)设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)1，且当x1,2时，f(x)2x，则f(2 018.5)_.解析：由f(x1)f(x)1在R上恒成立，得f(x1)f(x)1，两式相减得f(x1)f(x1)0，即f(x1)f(x1)恒成立，故函数f(x)的周期是2，f(2 018.5)f(0.5)f(1.5)，又当x1,2时，f(x)2x，f(2 018.5)f(1.5)21.50.5.答案：0.53已知函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数若f(2x1)f(1)0，则x的取值范围是_解析：函数f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数，函数f(x)在区间2,2上是单调减函数f(2x1)f(1)0，即f(2x1)f(1)，f(2x1)f(1)则解得1x.x的取值范围是.答案：4(2018泰州期末)设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xln，记anf(n5)，则数列an的前8项和为_解析：数列an的前8项和为f(4)f(3)f(3)f(4)(f(3)f(3)(f(2)f(2)(f(1)f(1)f(0)f(4)f(4)16.答案：165(2018徐州期中)已知函数f(x)exex1(e为自然对数的底数)，若f(2x1)f(4x2)2，则实数x的取值范围为_解析：令g(x)f(x)1exex，则g(x)为奇函数，且在R上单调递增因为f(2x1)f(4x2)2，所以f(2x1)1f(4x2)10，即g(2x1)g(4x2)0，所以g(2x1)g(x24)，即2x1x24，解得x(1,3)答案：(1,3)6(2019镇江中学测试)已知奇函数f(x)在定义域R上是单调减函数，若实数a满足f(2|2a1|)f(2)0，则a的取值范围是_解析：由f(2|2a1|)f(2)0，可得f(2|2a1|)f(2)因为f(x)为奇函数，所以f(2|2a1|)f(2)因为f(x)在定义域R上是单调减函数，所以2|2a1|2，即|2a1|，解得a.答案：7(2019苏州调研)已知奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则不等式0的解集为_解析：由0，可得或因为奇函数f(x)在(，0)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递减，且f(2)f(2)0，所以当x1时，f(x)0的解集为(1,2)；当x1时，f(x)0的解集为(2,0)所以不等式0的解集为(2,0)(1,2)答案：(2,0)(1,2)8函数f(x)在R上满足f(x)f(x)，当x0时，f(x)ex1mcos(x)，记af()，bf，cef(e)，则a，b，c的大小关系为_解析：函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)ex1mcos(x)，f(0)11m0，即m0，f(x)ex1(x0)令g(x)xf(x)，有g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，函数g(x)为偶函数，当x0时，g(x)xf(x)x(1ex)，g(x)f(x)xf(x)1(1x)ex0，函数g(x)在0，)上为减函数，af()g()g()，bfgg，cef(e)g(e)，又e，bac.答案：bac9已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,310(2018大同期末)已知函数f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，其中a0，a1.(1)求函数F(x)f(x)g(x)的定义域；(2)判断F(x)f(x)g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当a1时，求使F(x)0成立的x的取值范围解：(1)F(x)f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，解得1x1，函数F(x)的定义域为(1,1)(2)F(x)为(1,1)上的奇函数理由如下：由(1)知F(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称，F(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)F(x)，函数F(x)为(1,1)上的奇函数(3)根据题意，F(x)loga(x1)loga(1x)，当a1时，由F(x)0，得loga(x1)loga(1x)，即解得0x1，故x的取值范围为(0,1)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南通模拟)已知定义在R上的奇函数yf(x)满足f(2x)f(2x)，当2x0时，f(x)2x，若anf(n)(nN*)，则a2 018_.解析：f(2x)f(2x)，以2x代替上式中的x，得f(4x)f(x)，又函数yf(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，f(4x)f(x)f(x)，再以4x代替上式中的x，得f(8x)f(4x)f(x)，函数f(x)的周期为8.a2 018f(2 018)f(25282)f(2)，而f(2)f(2)，a2 018.答案：2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有ff成立(1)证明yf(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)2，求f(2)f(3)的值；(3)若g(x)x2ax3，且y|f(x)|g(x)是偶函数，求实数a的值解：(1)由f f ，且f(x)f(x)，知f(3x)f f f(x)f(x)，所以yf(x)是周期函数，且T3是其一个周期(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，且f(1)f(1)2，又T3是yf(x)的一个周期，所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数，且|f(x)|f(x)|f(x)|，所以|f(x)|为偶函数故g(x)x2ax3为偶函数，即g(x)g(x)恒成立，于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立于是2ax0恒成立，所以a0.
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