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20172018学年度第一学期普集高中高二年级第一次月考数学试题（考试范围：北师大版必修五第一章；考试时间：120分钟；总分：150分）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷(选择题60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面_”()A各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点C各正三角形的中心 D各正三角形外的某点答案C解析正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心故选C.2下列求导运算正确的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2xsin x解析：1，A错(log2x)，B正确故选B.答案：B3用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是()A假设至少有一个钝角 B假设至少有两个钝角C假设没有一个钝角 D假设没有一个钝角或至少有两个钝角解析：用反证法对命题的假设就是对命题的否定，“至多有一个”的否定是“至少有两个”，故选B.答案：B4函数yxex的增区间为()A(1，)B(0，)C(，0)D(，1)解析：由y1ex0解得x0.答案：B5函数f(x)x3ax1在(，1)上为增加的，在(1,1)上为减少的，则f(1)等于()A. B1 C. D1解析：f(x)x2a，又f(1)0，a1，f(1)11.答案：C6已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()AabcB8a4bcC3a2bDc解析：由f(x)的图像知：x0是f(x)的极小值点，f(x)minf(0)c.答案：D7已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a929 Da1a2a929答案D解析由等差数列的性质知，a1a9a2a82a5，故D成立8曲线yx32x1在点(1,0)处的切线方程为()Ayx1Byx1Cy2x2Dy2x2解析：由题可知，点(1,0)在曲线yx32x1上，求导可得y3x22，所以在点(1,0)处的切线的斜率k1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得切线方程为yx1.答案：A9用数学归纳法证明恒等式：123n2，则由nk到nk1时，等式左端应添加的项是()Ak21 B(k1)2C(k1)12 D(k21)(k22)(k1)2解析：nk时，左端为123k2，nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2.两式相减，可知等式左端应添加的项是(k21)(k22)(k1)2.故选D.答案：D10用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A6 B8 C10 D12答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得Vx(482x)2(0x24)，V12(24x)(8x)令V0，则在(0,24)内有x8，故当x8时，V有最大值11.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x)，若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析若f(x)sinxcosx，则f(x)sinxcosx，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)lnx2x，则f(x)，在x(0，)上，恒有f(x)0；若f(x)x32x1，则f(x)6x，在x(0，)上，恒有f(x)0，故选D.12f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0.对任意正数a、b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a)B.bf(a)af(b)Caf(a)f(b)D.bf(b)f(a)答案A解析xf(x)f(x)0，又f(x)0，xf(x)f(x)0.设y，则y0，故y是递减的或是常函数又a0，则af(b)bf(a)第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13函数yx33x26x2，x1,1的最大值为_，最小值为_解析：y3x26x63(x1)210，所以函数f(x)在1,1上为增函数，最大值为f(1)2，最小值为f(1)12.答案：21214已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2xa0有解问题，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln 2，所以g(x)在(，ln 2)上是增函数，在(ln 2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)2ln 22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln 2215.已知f(x)，x0，若f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN， 则f2014(x)的表达式为_答案解析f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f2014(x).应寻求规律，找出解析式16.如图为函数f(x)的图像，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf(x)0的解集为_答案(3，1)(0,1)解析xf(x)0的解集为(3，1)(0,1)是f(x)的递减区间，f(x)0的解集为(0,1)故不等式的解集为(3，1)(0,1)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）设函数f(x)x3x23x1.求f(x)的单调区间和极值解析：f(x)x22x3，由f(x)0，得x1或x3.列表如下：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)8函数f(x)的极大值为，极小值为8，函数f(x)的单调递增区间是(，1) 和(3，)，递减区间是(1,3)18求与曲线yx2相切，且与直线x2y10垂直的直线方程.18答案：所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.19.求函数f(x)ex(3x2)在区间2,5上的最值19解：f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5. 20. (本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x1与x2处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x2,3，不等式f(x)cc2恒成立，求c的取值范围20.解：(1)f(x)3x22axb，由题意得即解得所以f(x)x3x26xc，f(x)3x23x6.令f (x)0，解得1x0，解得x2.所以f(x)的减区间为(1,2)，增区间为(，1)，(2，)(2)由(1)知，f(x)在(，1)上单调递增；在(1,2)上单调递减；在(2，)上单调递增所以x2,3时，f(x)的最大值即为f(1)与f(3)中的较大者f(1)c，f(3)c.所以当x1时，f(x)取得最大值要使f(x)cf(1)c，即2c275c，解得c. 所以c的取值范围为(，1).21(本小题满分12分)若函数f(x)ax3bx，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围解析：f(x)3ax2b.(1)由题意可得，解得.故所求的函数解析式为f(x)x34x.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)，当x2或x2时，f(x)0，f(x)单调递增；当2x2时，f(x)0，f(x)单调递减；因此，当x2时，f(x)有极大值；当x2时，f(x)有极小值.所以函数的大致图像如图所示故实数k的取值范围是k.22. (本小题满分12分)已知函数f(x)x2alnx(aR)(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，x2lnx0，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当a4时，x2是f(x)的极小值点所以a4.(2)因为f(x)x，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，f(x)x，令f(x)0有x，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)；令f(x)0有0x1时，g(x)0，所以g(x)在(1，)上是增函数所以g(x)g(1)0.所以当x1时，x2lnxx3.
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