天然气藏非线性不稳定渗流的解析解

第4O卷第l0期 20l 1年l0月 当 代 化 工 Contemporary Chemical Industry Vo1 40 No 10 October 201 l 天然气藏非线性不稳定渗流的解析解 郑 洲 米洪洋 东北石油大学华瑞学院石油J 程系 黑龙江哈尔滨150000 摘 要 根据真实气体在多孔介质中的渗流特性 建立了天然气非线性不稳定渗流偏微分方程 以无限大 气藏单井渗流为例 恰当引入拟压力函数 使非线性气体渗流方程线性化 并通过拉普拉斯变换及复杂的抟氏 逆变换得 了天然气不稳定渗流问题的解析解 该解析解可以很好的反应气藏稳产或变产时井底压力变化与各 参数之间的关系 关键词 非线性渗流 拉普拉斯变换 偏微分方程 解析解 中图分类号 TQ 019 文献标识码 A 文章编号 1671 0460 2011 10 1084 03 Analytic Solution of the Natural Gas Pool Nonlinear Unstable Seepage Flow ZHENG Zhou MIHong yang Huarui College of Oil Engineering Northeastern Petroleum University Helongjiang Haerbin 1 50000 China Abstract Based on seepage characteristics of the real gas in the porous media partial differential equation of natura1 gas nonlinear unstable seepage flow was established Taking single well seepage flow of infinite gas pool as an example properly introducing the pseudopressure function linearizing the nonlinear gas transfusion equition and utilizing the laplace and the complex inverse laplace transformation the analytic solution of the natural gas nonlinear unstable seepage flow problem was gained This analytic solution may forecast the relationship between the pressure change and every parameters under the stable production or unstable production of the gas reservoir Key words Nonlinear seepage flow Laplace transformation Partial differential eqution Analytic solution 天然气非线性不稳定渗流是油气藏渗流力学研 究的一个重点课题D 31 对气藏产能评价及地层压力 变化规律的研究具有实际意义 以往的不稳定渗流 模型均是在欧几里德几何理论的基础上建立的 而实际上对于孔隙结构复杂的低渗透油气藏来说 上述模型往往不能满足实际生产要求 从数学 力 学理论出发建立新的非线性不稳定渗流数学模型至 关重要 笔者基于数学物理方程的相关理论 并 结合真实气体在多孔介质中的渗流特性 建立了天 然气非线性不稳定渗流偏微分方程 通过函数变换 得出了方程的解析解 可为进一步研究复杂非均质 油气藏不稳定渗流问题提供一定的理论基础 效半径为rw l we 气藏中天然气等温渗流 且压 力梯度较小 气体粘度 尸 压缩因子 压 缩系数 均为随气体压力P变化的已知参数 故以井轴为中心 真实气体在气藏内向井底渗 流的平面轴对称问题控制方程如下 I I r rwet 0 1 初始条件 p r o p 2 内边界条件 c 3 而l 一 1 非线性渗流数学模型 无限大气藏边界条件 假定气藏的厚度为h 原始地层压力为P 在气 藏中心打开一口半径为nv的井 且井以变量 f 生产 井筒储存常数为 井的视表皮系数为 反映了井底污染或改善状况及湍流影响 该井的有 oO f Pi t 0 4 半径为R的圆形封闭气藏边界条件为 0 f 0 收稿日期 2011 06一O5 作者简介 郑洲 1 984一 女 黑龙江绥滨人 助教 研究方向 石油 天然气非线性渗流方面的研究 E mail aimiaizhou 1 63 corn 第40卷第10期 郑 洲 等 天然气藏非线性不稳定渗流的解析解 1085 气藏外边界定压问题的提法 p R f 一Pi f 0 6 式中 t 气藏压力 只一井底压力 c一地面气体压力 一地面气体温度 产 气藏温度 2非线性渗流问题的解析解 真实气体在均质无限大气藏内渗流时 储层内 压力分布满足下列定解问题 l j foc p p 8p r rw t O J p r 0 P f71 f I p oo p 引入拟压力函数可使定解问题线性化 f 彘 8 作如下变量代换 设 rD f Ot 9 wt o f101 pcT 2T 1wT c 衰 11 P 12 式中 c 分别为原始状态下的气体压缩系数与粘度 考虑到气体压缩系数与粘度的乘积 尸 尸 在生产期间的变化可忽略不计的 则定解问题 7 可化简为如下问题 c mD P a p f m D f p rD O p 13 co p r 0 对式 13 取关于 的拉普拉斯变换 并记 r z J m Q z g 号 可得 一ZU 0 d rD d U z 0 14 dUL Q Z CDZU 1 z 方程 14 的通解为 z z 0 eX0 D 1 15 利用 14 式中的边界条件可确定通解的待定系 数A B进而求得 u rn z Q z 16 面 17 从而有 c z Z Q z 18 w z 19 取如图1所示的积分围线 令肛 一0不 难证明 v ifi 一 I r I v一 那么则有 图1积分围线 Fig 1 Contour integration 20 w r I I 21 在割线上沿 上积分 令Z H2 一 则 2 i 那么有 u 2r e u 2r 2 利用公式 f 詈f fy 一 23 f 手 fy 一 24 可得 f 丽尚 z e u 2r 丽 5 在割线下沿j 积分 令Z H2P 一 则 1086 当 代 化 工 201 1年10月 Z 一iu 习 么有 f u 2 r 6 将上式右端的被积函数用第一类 第二类贝塞 尔函数表出 即 f z 27 将式 25 与式 27 相加可得 j f 一z f281 二 一 一 一C to 一 二 l lJl 一c 71 一curo 记 q 6 ym 一 29 则上式变为 j j3 2 而2而 0 r D I u CDU丽CPo o rD l u d 3 将式 30 代人式 21 可得 丽 记 q 2 那么式 31 可写为 w e u ErG v a 33 应用拉氏变换的卷积定理 由式 18 可得 b f E b z Q Z W W f q J w g 34 令 可将上式写成 r f 0 q f w r o4 d 35 由式 7 式可得 气井以任意变产量q t 生产 时 均匀气藏内的拟压力分布表达式为 咖 一 d 36 当 f q为常产量时 有 mD f g0w fW2 04 d4 2q O I如 o e G rD U d d 37 经计算得 G d 38 兀 一 于是由 7 式可得 气井以常量 生产时 均 质气藏内的拟压力分布表达式为 咖 一 2qTp o 譬 u 39 在式 37 39 即分别为天然气井以变产量 定产量生产时 井底拟压力的解析解 3结论 天然气的不稳定渗流状态方程都是用微分方程 来描述的 不利于分析各个参数对渗流过程的影响 利用数学物理方程的相关理论 结合真实气体在多 孑L介质中的渗流特性 建立了天然气非线性不稳定 渗流时的非线性偏微分方程 基于非线性偏微分方 程不便于求出解析解 本文恰当地引入函数变换 使方程式线性化 在确定气藏渗流问题的实际定解 条件后 得出了气藏渗流问题的解析解 参考文献 1 何炳全 向开理 分形油藏不稳定渗流有效井径数学模型的解析解 J 西南石油大学学报 2000 22 3 37 41 2 刘月田 葛家理各向异性圆形地层渗流的解析解 J 石油大学学报 自然科学版 2000 24 2 40 44 3 汪周华 钟兵 伊向艺 低渗气藏考虑非线性渗流特征的稳态产能方 程l J1 天然气工业 2008 28 8 80 83 4 邓英尔 刘慈群 低渗非线性渗流规律数学模型及其应用阴 石油学 报 2001 22 4 37 43 5 沈瑞 熊伟 高树生 低渗透多孔介质单相流体非线性渗流及计算方 法lJ1 武汉工业学院学报 2009 28 3 33 35 6 向开理 李允 李铁军 井筒相再分布的分形油藏不稳定渗流有效井径 数学模型的解析解 J1l油气井测试 2001 10 3 5 10 37 40