复变函数与积分变换.ppt

第一节复数及其代数运算 一 复数的概念 二 复数的代数运算 五 小结与思考 三 复平面 四 扩充复平面 2 一 复数的概念 1 虚数单位 对虚数单位的规定 3 2 复数 4 注 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等 复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0 说明两个数如果都是实数 可以比较它们的大小 如果不全是实数 就不能比较大小 也就是说 复数不能比较大小 5 思考题 复数为什么不能比较大小 6 思考题答案 由此可见 在复数中无法定义大小关系 7 二 复数的代数运算 1 两复数的和 2 两复数的积 3 两复数的商 8 4 共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数 例1 解 9 5 共轭复数的性质 以上各式证明略 10 例2 解 11 例3 解 12 三 复平面 1 复平面的定义 13 2 复数的模 或绝对值 显然下列各式成立 14 3 复数的辐角 说明 辐角不确定 15 辐角主值的定义 16 4 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 17 5 复数和差的模的性质 18 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 6 复数的三角表示和指数表示 19 例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式 解 故三角表示式为 20 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 21 故三角表示式为 指数表示式为 22 定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和 证 5 复数和差的模的性质 23 两复数相乘就是把模数相乘 辐角相加 证毕 说明 由于辐角的多值性 两端都是无穷多个数构成的两个数集 对于左端的任一值 右端必有值与它相对应 24 定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 证 按照商的定义 证毕 25 例5 解 26 例6 求下列方程所表示的曲线 解 27 化简后得 28 四 复球面 1 南极 北极的定义 29 球面上的点 除去北极N外 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系 我们可以用球面上的点来表示复数 我们规定 复数中有一个唯一的 无穷大 与复平面上的无穷远点相对应 记作 因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应 这样的球面称为复球面 2 复球面的定义 30 3 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 对于复数来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 复球面的优越处 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来 31 32 五 小结与思考 学习的主要内容有复数的概念 各种表示法 复数的模 辐角 并且介绍了复平面 复球面和扩充复平面 注意 为了用球面上的点来表示复数 引入了无穷远点 无穷远点与无穷大这个复数相对应 所谓无穷大是指模为正无穷大 辐角无意义 的唯一的一个复数 不要与实数中的无穷大或正 负无穷大混为一谈 33 思考题 是否任意复数都有辐角 34 思考题答案 否 它的模为零而辐角不确定 放映结束 按Esc退出