复变函数与积分变换3.4解析函数的高阶导数.ppt

3 4解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数 而且有各高阶导数 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示 这一点和实变函数完全不同 一个实变函数在某一区间上可导 它的导数在这区间上是否连续也不一定 更不要说它有高阶导数存在了 定理解析函数f z 的导数仍为解析函数 它的n阶导数为 其中C为在函数f z 的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线 而且它的内部全含于D 证 设z0为D内任意一点 先证n 1的情形 即 因此就是要证 按柯西积分公式有 因此 现要证当Dz 0时I 0 而 f z 在C上连续 则有界 设界为M 则在C上有 f z M d为z0到C上各点的最短距离 则取 Dz 适当地小使其满足 Dz d 2 因此 L是C的长度 这就证得了当Dz 0时 I 0 这就证得了 再利用同样的方法去求极限 依此类推 用数学归纳法可以证明 高阶导数公式的作用 不在于通过积分来求导 而在于通过求导来求积分 例1求下列积分的值 其中C为正向圆周 z r 1 解 1 函数在C内的z 1处不解析 但cospz在C内却是处处解析的 由高阶导数公式 由多连通域Cauchy和高阶导数Cauchy公式 可解 例2设其中C 2 取正向 z 2 计算