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4.数列、不等式1等差数列及其性质(1)等差数列的判定：an1and(d为常数)或an1ananan1 (n2)(2)等差数列的性质当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0.若公差d0，则为递增等差数列；若公差d0、0、0三种情况；在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合问题5解关于x的不等式ax2(a1)x10)解原不等式化为(x1)0.当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.6处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x的取值为全体实数时，一般应用此法(2)转化为求函数最值问题，如大于零恒成立可转化最小值大于零(3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形问题6如果kx22kx(k2)0恒成立，则实数k的取值范围是_答案(1,0解析当k0时，原不等式等价于20，显然恒成立，所以k0符合题意当k0时，由题意，得解得1k0.所以1k0.7利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑(2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元(3)当题中等号条件不成立时，可考虑从函数的单调性入手求最值问题7若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是_答案74解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)77274，当且仅当时取等号8解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象)(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离(3)代：将合适的点代入到原来目标函数中求最值利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题(1)截距型：如求zyx的取值范围(2)条件含参数型：已知x，y满足约束条件且zyx的最小值是4，则实数k2.已知x，y满足约束条件且存在无数组(x，y)使得zyax取得最小值，则实数a.(3)斜率型：如求的取值范围(4)距离型(圆半径平方型R2)：如求(xa)2(xb)2的取值范围问题8已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.答案2解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解为x1，y1或x2，y0，经检验知x2，y0符合题意，所以2a04，此时a2.易错点1忽视等比数列中q的范围例1设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列an的公比q_.易错分析没有考虑等比数列求和公式Sn中q1的条件，本题中q1恰好符合题目条件解析当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立当q1时，由S3S6S9，得.q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案1或1易错点2忽视分类讨论例2若等差数列an的首项a121，公差d4，求Sn|a1|a2|a3|an|.易错分析要去掉|an|的绝对值符号，要考虑an的符号，对n不讨论或讨论不当容易导致错误解an214(n1)254n.令an0，得n6，nZ.当n6时，Sn|a1|a2|an|a1a2an2n223n；当n7时，|a1|a2|a3|an|(a1a2a3a6)(a7a8an)2(a1a2a6)(a1a2a6a7a8an)2n223n132.所以Sn易错点3已知Sn求an时忽略n1例3已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)，求数列an的通项an.易错分析anSnSn1成立的条件是n2，若忽略对n1时的验证则出错解因为an12Sn，所以Sn13Sn，所以3.因为S1a11，所以数列Sn是首项为1、公比为3的等比数列，Sn3n1 (nN*)所以当n2时，an2Sn123n2(n2)，所以an易错点4数列最值问题忽略n的限制例4已知数列an的通项公式为an(n2)n(nN*)，则数列an的最大项是_易错分析求解数列an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误解析因为an1an(n3)n1(n2)nn，当n0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项答案第7项或第8项易错点5裂项法求和搞错剩余项例5在数列an中，an，又bn，则数列bn的前n项和为_易错分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的解析由已知得an(12n)，从而bn4，所以数列bn的前n项和为Sn44.答案易错点6线性规划问题最优解判断错误例6P(x，y)满足|x|y|1，求axy的最大值及最小值易错分析由axyt，得yaxt，欲求t的最值，要看参数a的符号忽视参数的符号变化，易导致最值错误解P(x，y)满足的线性区域如图所示当a1时，直线yaxt分别过点(1,0)与(1,0)时，axy取得最大值与最小值，其值分别为a，a.易错点7运用基本不等式忽视条件例7函数y的最小值为_易错分析应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域解析y .设t，则t2，所以函数变为f(t)t(t2)这时，f(t)在2，)上单调递增，所以f(t)f(2)，所以函数y的最小值为.答案1不等式1的解集是_答案解析不等式1，2x2x10，即(2x1)(x1)0，解得1x，原不等式的解集为.2已知等差数列an的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为_答案2解析因为an成等差数列，所以a1，a2，a3，a4，a5的平均数为a3，所以方差为(2d)2(d)20(d)2(2d)22d28，解得d2.3已知数列an满足9(nN*)且a2a4a69，则(a5a7a9)_.答案3解析由已知，所以an1an2，所以数列an是公差为2的等差数列，a5a7a9(a23d)(a43d)(a63d)(a2a4a6)9d99227，(a5a7a9)3.4若命题“xR，ax2ax20”为真命题，则实数a的取值范围是_答案8,0解析当a0时，20，不等式显然成立；当a0时，由题意知解得8a0.综上可知，8a0.5(2018江苏扬州中学模拟)已知数列an与均为等差数列(nN*)，且a12，则a10_.答案20解析设数列an的公差为d，则annd2d，所以，因为为等差数列，所以d2，故a1020.6若x，y满足约束条件则z2xy的取值范围是_答案(4,0解析由z2xy，得y2xz，作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图，平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A(2,0)时，直线y2xz的截距最大，此时z最小当直线y2xz经过点O(0,0)时，直线y2xz的截距最小，此时z最大所以z的最小值为4，最大值为0.即40，当取最小值时，实数a的值是_答案2解析方法一2 ，当且仅当a0，所以，a2.设f(a)，a2，则f(a)当a0时，f(a)，从而f(a)，故当a2时，f(a)0；当2a0，故f(a)在(，2)上是减函数，在(2,0)上是增函数，故当a2时，f(a)取得极小值；同理，当0a0，ba，两边平方得aba2m2b，即b2m2b，于是m212 ，令t(0t1)，则m212在0k的解集为x|x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知，(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.12已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足8Sna4an3(nN*)，且a1，a2，a7依次是等比数列bn的前三项(1)求数列an及bn的通项公式；(2)是否存在常数a0且a1，使得数列anlogabn(nN*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解(1)当n1时，8a1a4a13，a11或a13.当n2时，8Sn1a4an13，anSnSn1(a4ana4an1)，从而(anan1)(anan14)0.因为an的各项均为正数，所以anan14.所以，当a11时，an4n3；当a13时，an4n1.又因为当a11时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，所以bn5n1.当a13时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去所以数列an和bn的通项公式分别为an4n3，bn5n1，nN*.(2)存在满足条件的a，理由如下：由(1)知，an4n3，bn5n1，从而anlogabn4n3loga5n14n3(n1)loga5(4loga5)n3loga5.由题意，得4loga50，所以a.
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