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第24讲正弦定理和余弦定理的应用1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图3-24-1(a)所示. (a) (b) (c) (d)图3-24-12.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图3-24-1(b)中B点的方位角为.3.方向角:相对于某正方向的,如北偏东,即由正北方向顺时针旋转到达目标方向(如图3-24-1(c),其他方向角类似.4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图3-24-1(d)所示,坡角为).坡比:坡面的铅直高度与之比(如图3-24-1(d)所示,i为坡比).题组一常识题1.教材改编 海上有A,B,C三个小岛,A,B相距53海里,从A岛望C和B成45视角,从B岛望C和A成75视角,则B,C两岛间的距离是海里.2.教材改编 某人向正东方向走了x km后,向右转150,然后沿新方向走了3 km,结果他离出发点恰好3 km,那么x的值为.3.教材改编 如图3-24-2所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则tan 等于. 图3-24-2图3-24-34.教材改编 如图3-24-3所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得BCD=,BDC=,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为,则塔高AB=.题组二常错题索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题.5.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60,C点的俯角是70,则BAC=.图3-24-46.如图3-24-4所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40的方向,灯塔B在观察站南偏东60的方向,则灯塔A相对于灯塔B的方向角是.7.已知点A在点B南偏西20的方向,若以点B为基点,则点A的方位角是.8.某起重装置的示意图如图3-24-5所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=519 m,则起吊的货物与岸的距离AD为m.图3-24-5探究点一测量距离问题例1 2018南京师大附中月考 如图3-24-6所示,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B的正北方向6千米处,C在B的正东方向63千米处.(1)若警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时CBP=45,求P,B两点间的距离.(2)若警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/时,乙的速度为6千米/时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离最大为9千米,试求两人通过对讲机能保持联系的总时长.图3-24-6总结反思 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求出该三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度.变式题 2018青岛二模 如图3-24-7所示,A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C两点的距离为50 m,ACB=45,CAB=105,则A,B两点间的距离为()图3-24-7A.502 mB.503 mC.252 mD.2522 m探究点二测量高度问题例2 2018衡水中学月考 如图3-24-8所示,在山顶有一座信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为,沿倾斜角为的山坡向上前进l米后到达B处,测得C的仰角为.图3-24-8(1)求BC的长;(2)若l=24,=45,=75,=30,求信号塔CD的高度.总结反思 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.变式题 如图3-24-9所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()图3-24-9A.(30+303) mB.(30+153) mC.(15+303) mD.(15+33) m探究点三测量角度问题例3 如图3-24-10所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为40,距离为15海里的C处,并测得渔船正沿方位角为100的方向,以15海里/时的速度航行,该舰艇立即以153海里/时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B处相遇,求舰艇与渔船相遇所需的时间和舰艇的航向.图3-24-10 总结反思 测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得.变式题 如图3-24-11所示,在坡角为的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进10米后到达点B,又从点B测得C对于山坡的斜度为,建筑物的高CD为5米.图3-24-11(1)若=30,求AC的长;(2)若=45,求此山坡的坡角的余弦值.第24讲正弦定理和余弦定理的应用考试说明 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.【课前双基巩固】知识聚焦1.水平视线上方下方2.正北方向3.水平角4.水平面水平长度对点演练1.52解析 由题可知ACB=60,由正弦定理得ABsinACB=BCsinBAC,即53sin60=BCsin45,得BC=52.2.23或3解析 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得ACsin30=BCsinA,sin A=3123=32,A=60或A=120.当A=60时,AB=23;当A=120时,AB=3.3.2315解析 由题意可得,在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且+ACB=.由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.4.stansinsin(+)解析 在BCD中,CBD=-.由正弦定理得BCsinBDC=CDsinCBD,所以BC=CDsinBDCsinCBD=ssinsin(+).在RtABC中,AB=BCtanACB=stansinsin(+).5.130解析 60+70=130.6.南偏西80解析 由条件及图可知,A=ABC=40,又BCD=60,所以CBD=30,所以DBA=10,因此灯塔A在灯塔B南偏西80的方向.7.200解析 根据方位角的概念可得.8.1532解析 在ABC中,cosABC=102+(519)2-152210519=7219,所以sinABC=33219,所以在ABD中,AD=ABsinABC=51933219=1532(m).【课堂考点探究】例1思路点拨 (1)先求出APB,再由正弦定理可得BP;(2)设甲、乙之间的距离为f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f(t)9,然后分0t1和1t4两种情况讨论,分别求得对应的时长,再求和即得到结论.解:(1)在ABC中,AB=6,BC=63,ABBC,所以A=60,C=30,又CBP=45,所以APB=75,由正弦定理得,ABsinAPB=BPsinA,即BP=6322+64=1236+2=123(6-2)4=92-36,故PB的距离是(92-36)千米.(2)由题知,AC=12千米,则甲从C到A需要4小时,乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为f(t),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f(t)9.当0t1时,f(t)=(6t)2+(12-3t)2-26t(12-3t)cos60=37t2-16t+16,由f(t)9,得7t2-16t+70,解得8-157t8+157,又t0,1,所以8-157t1,此时通过对讲机保持联系的时长为1-8-157=15-17(小时).当1t4时,f(t)=36+(12-3t)2-26(12-3t)cos60=3t2-6t+12,由f(t)9, 得t2-6t+30,解得3-6t3+6,又t(1,4,所以1t4,此时通过对讲机保持联系的时长为3小时.综上,两人通过对讲机能保持联系的总时长为3+15-17=15+207(小时).变式题A解析 在ABC中,AC=50 m,ACB=45,CAB=105,所以ABC=30,则由正弦定理ABsinACB=ACsinABC,得AB=ACsinACBsinABC=502212=502(m).故选A.例2思路点拨 (1)在ABC中,由正弦定理可得BC;(2)结合(1),在BDC中,利用正弦定理化简求解即可.解:(1)在ABC中,AB=l,CAB=-,ABC=180-(-),ACB=-.由正弦定理BCsinCAB=ABsinACB,得BC=sin(-)sin(-)l.(2)由(1)及条件知,BC=sin(-)sin(-)l=sin15sin3024=126-2.因为BCD=90-=15,CBD=-=45,所以BDC=120.由正弦定理得CD=sin45sin120BC=24-83.变式题A解析 设树高为x m,则BP=2x m.在ABP中,AB=60,BP=2x,A=30,APB=15,由正弦定理ABsin15=BPsin30,得60sin15=2xsin30,解得x=30+303.故选A.例3思路点拨 设所需时间为t小时,利用余弦定理列出含有t的方程,再解方程得到t的值,然后求出CAB的值,即可求得舰艇航行的方位角.解:设所需时间为t小时,则AB=153t,CB=15t.由题可知,ACB=120.在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,可得(153t)2=152+(15t)2-21515tcos 120,整理得2t2-t-1=0,解得t=1或t=-12(舍去),即舰艇与渔船相遇需要1小时.在ABC中,AB=153,BC=15,AC=15,ACB=120,所以CAB=30,所以舰艇航行的方位角为70.变式题解:(1)当=30时,ABC=150,ACB=BAC=15, 所以BC=AB=10,由余弦定理得AC2=102+102-21010cos 150=200+1003,故AC=56+52.(2)当=45时,ACB=30,在ABC中,由正弦定理得BC=ABsinBACsinACB=206-24=5(6-2).在BCD中,由正弦定理得sinBDC=BCsinDBCCD=5(6-2)225=3-1,所以cos =cos(ADC-90)=sinADC=3-1.【备选理由】 例1是距离问题,体现了正、余弦定理在解三角形方面的实际应用,考查学生综合运用知识解决实际问题的能力;例2是角度问题.例1配合例1使用 如图所示,某小区准备将一块闲置的直角三角形地开发成公共绿地,图中AB=a,B=2,BC=3a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN,且两边是两个关于走道MN对称的三角形(AMN和AMN).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点M与点A,B均不重合,A落在边BC上且不与端点B,C重合,设AMN=.(1)若=3,求此时公共绿地的面积;(2)为方便小区居民的行走,设计时要求AN,AN的长度最短,求此时绿地公共走道MN的长度.解:(1)设公共绿地的面积为S,由图得BMA=-2=3,BM=12AM=12AM,又BM+AM=AB=a,32AM=a,AM=23a.又AB=a,BC=3a,B=2,A=3,AMN为等边三角形,MN=AM=23a,S=2SAMN=212AMMNsin3=49a232=239a2.(2)由题知AM+AMcos(-2)=AB=a且AM=AM,AM=AM=a1+cos(-2)=a1-cos2=a2sin2.在AMN中,由正弦定理可得ANsin=AMsin-3-, AN=AMsinsin23-=a2sinsin23-,记t=2sin sin23-,则t=2sin sin23cos -cos23sin =3sin cos +sin2=32sin 2-12cos 2+12=sin2-6+12,又4,2,2-63,56,当2-6=2,即=3时,t取得最大值,此时AN取得最小值,则此时MN=AM=23a.例2配合例3使用 如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待救援,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30方向,相距10海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,则sin 的值为()A.217B.22C.32D.5714解析 D由题意知,在三角形ABC中,AC=10,AB=20,CAB=120.由余弦定理可得BC=AC2+AB2-2ACABcosCAB=107.又由正弦定理ABsinACB=BCsinCAB,得20sinACB=107sin120,即sinACB=217,又因为ACB(0,60),所以cosACB=277,故sin =sinACB+30=21732+27712=5714.
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