2020版高二数学下学期期中试题 理(含解析).doc

2020版高二数学下学期期中试题 理(含解析)注意事项：一、选择题（每题5分，共60分）1.1.命题“xR,ex0”的否定是( )A. xR,ex0 B. xR,ex0 C. xR,ex0 D. xR,ex0【答案】B【解析】【分析】命题的否定，将量词与结论同时否定，即可得到答案【详解】命题的否定，将量词与结论同时否定则命题“”的否定是“”故选【点睛】本题主要考查的是命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定，将量词与结论同时否定，属于基础题。2.2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则P的值为( )A. -2 B. 2 C. -4 D. 4【答案】D【解析】【分析】求得椭圆的右焦点坐标，由题意可得，即可求得结果【详解】由椭圆，解得故椭圆x26+y22=1的右焦点为2，0则抛物线y2=2px的焦点为2，0则p2=2，解得p=4故选D【点睛】本题主要考查的是抛物线的简单性质，根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，根据抛物线的标准方程可确定出p的值，属于基础题。3.3.已知F1,F2是椭圆x216+y29=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=( )A. 11 B. 10 C. 9 D. 16【答案】A【解析】【分析】由椭圆的方程求出椭圆的长轴长，再由椭圆的定义结合|AB|=5求得结果【详解】如图，由椭圆x216+y29=1可得：a2=16，则a=4又AF1+BF1+AB=4a=16且|AB|=5则AF1+BF1=11故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是根据椭圆的定义即椭圆上的点到焦点的距离之和为2a，属于基础题。4.4.设 O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点,若OAAF=4,则点A的坐标是 ( )A. (2,22) B. (1,2) C. (1,2) D. (2,22)【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线y2=4x的焦点F1，0，设出A的坐标，用坐标表示出OA，AF，然后结合OAAF=-4得到关于y0的方程，解方程即可确定点A的坐标【详解】设A的坐标为y024，y0F为抛物线y2=4x的焦点，F1，0，OAAF=y024，y01-y024，-y0=-y0216-3y024=-4解得y02=4，y0=2点A的坐标为1，2或1，-2故选B【点睛】本题是一道关于抛物线与向量的综合题目，需要熟练掌握抛物线的性质，设出点坐标，求出向量的点乘来计算结果，属于基础题。5.5.函数f(x)在x=x0处导数存在,若P:f(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则( )A. P是q的充分必要条件 B. P是q的充分条件,但不是的必要条件C. P是q的必要条件,但不是q的充分条件 D. P既不是q的充分条件,也不是的必要条件【答案】C【解析】【分析】函数f(x)在x=x0处导数存在，由x=x0是f(x)的极值点f(x0)=0，反之不成立，即可判断出结论【详解】根据函数极值的定义可知，x=x0是函数f(x)的极值点，则f(x0)=0一定成立但当f(x0)=0时，函数不一定取得极值，比如函数fx=x3，导函数f(x)=3x2，当x=0时，fx=0，但函数fx=x3单调递增，没有极值则p是q的必要条件，但不是q的充分条件故选C【点睛】本题主要考查了命题及其关系以及导数与极值的关系，解题的关键是利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系，属于基础题6.6.若曲线y=x2+ax+b在点(0, b)处的切线方程是xy+1=0, 则( )A. a=1,b=1 B. a=1,b=1 C. a=1,b=1 D. a=1,b=1【答案】A【解析】y2xa，曲线yx2axb在(0，b)处的切线方程的斜率为a，切线方程为ybax，即axyb0.a1，b1. 选A点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.视频7.7.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=( )A. 14 B. 12 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程即可求出m的值【详解】椭圆x2+my2=1的标准方程为：x2+y21m=1椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍1m=2，解得m=14故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，将椭圆方程化为标准方程，然后结合题意列出方程进行求解，较为基础8.8.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()A. 2 B. 3 C. 3+12 D. 5+12【答案】D【解析】试题分析：设该双曲线方程为x2a2y2b2=1（a0，b0），得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为bc由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率；设该双曲线方程为x2a2y2b2=1（a0，b0），可得它的渐近线方程为y=bax，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，直线FB的斜率为kFB=0bc0=bc，直线FB与直线y=bax互相垂直，bcba=1，b2=ac,b2=c2a2，c2a2=ac，e2e1=0,e=152双曲线的离心率e1，e=5+12,故选：D考点：双曲线的简单性质视频9.9.设P是双曲线x2a2y29=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=( )A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程，渐近线的方程求出，由双曲线的定义求出|PF2|【详解】由双曲线的方程，渐近线的方程可得：32=3a，解得a=2由双曲线的定义可得：PF2-3=2a=4解得PF2=7故选C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，结合双曲线的定义进行计算求出结果，较为简单，属于基础题10.10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. 1 B. 13 C. 12 D. 14【答案】B【解析】【分析】首先由三视图得到几何体为四棱锥，根据图中数据明确底面和高，即可求得该几何体的体积【详解】由已知三视图得到几何体是四棱锥，底面是两边分别为1，2的平行四边形，高为1，如图所示：该几何体的体积为V=1312211=13故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.11.11.已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为1,则BC1与DB1的距离为()A. 6 B. 63 C. 66 D. 26【答案】C【解析】【分析】连接BD1，BD1DB1=O，取C1D1的中点E，连接DE，EB1，则OEBC1，可得BC1平面DB1E，从而BC1与DB1的距离为BC1与平面DB1E的距离，即C1到平面DB1E的距离，利用等体积可求【详解】连接BD1，BD1DB1=O，取C1D1的中点E，连接DE，EB1，则OEBC1.BC1平面DB1E，OE平面DB1EBC1平面DB1EBC1与DB1的距离为BC1与平面DB1E的距离，即C1到平面DB1E的距离在DB1E中，DE=52，EB1=52，DB1=3，OE=22SDB1E=12322=64设C1到平面DB1E的距离为d，则由VC1DB1E=VDB1C1E，可得1364d=13121121.d=66故选C.【点睛】本题考查线线距离，解题的关键是将BC1与DB1的距离转化为C1到平面DB1E的距离，从而利用等体积求解等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值12.12.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数的取值范围是( )A. -1a2 B. -3a6 C. a2 D. a6【答案】D【解析】【分析】根据函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，可推出其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式0，即可求得【详解】f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1f(x)=3x2+2ax+(a+6)函数f(x)有极大值和极小值=4a212(a+6)0a6故选D.【点睛】函数极值问题，往往转化为导函数零点问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）， 若是不等式有解或恒成立问题，可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题，若是二次函数的零点问题，可通过相应的二次方程的判别式来求解第卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分）13.13.直线L与抛物线x2=8y相交于A、B两点且AB的中点为M（1、1），则L的方程为_【答案】x-4y+3=0.【解析】【分析】设出A、B两点坐标，然后运用点差法求出直线斜率，继而得到直线方程【详解】设Ax1，y1、Bx2，y2则x12=8y1x22=8y2相减可得：x1+x2x1-x2=8y1-y2有y1-y2x1-x2=x1+x28AB中点为M1，1x1+x2=2故y1-y2x1-x2=x1+x28=28=14L的方程为：y-1=14x-1即x-4y+3=0故答案为x-4y+3=0【点睛】本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，当遇到含有中点的题目时，可以采用点差法来求出直线斜率，继而可得直线方程14.14.数列an满足a1=1,an=4an1+3(n2),则此数列的通项公式an=_【答案】an=24n11.【解析】【分析】根据已知条件，找出已知和未知的联系，通过构造等比数列，利用其通项公式，得到结果【详解】an=4an-1+3(n2)，an+1=4an-1+1(n2)a1=1，则a1+1=2数列an+1是以2为首项，4为公比的等比数列an+1=24n-1，an=24n-1-1故答案为an=24n-1-1【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意已知和未知的结合，找出相关关系，属于基础题。15.15.设x,y满足约束条件x+y0xy+30x3，则z=2xy的最大值为_【答案】9.【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，设z=2x-y，再利用的几何意义求出最值，只需要求出直线z=2x-y过可行域内的点时，从而得到z=2x-y的最大值即可【详解】不等式组表示的平面区域如图所示： 由x+y=0x=3可得点A3，-3当直线z=2x-y过点A3，-3时，在y轴上的截距最小，此时，取得最大值9故答案为9【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，在不同区域取得不同最值，只要按照线性规划的解题方法来求解即可16.16.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为AB1的中点,在面ABCD中取一点F,使EF+FC1最小,则最小值为_.【答案】142.【解析】如图，将正方体ABCDA1B1C1D1关于面ABCD对称，则EC1就是所求的最小值，EC1=EN2+NC12=322+14+1=142三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤共70分 ）17.17.已知曲线方程为y=x2,求:（1）点A2,4处的切线方程（2）过点B3,5且与曲线相切的直线方程.【答案】(1) 4xy4=0.(2) 2xy1=0或10xy25=0.【解析】【分析】1求导后算出在点A处的斜率然后求出切线方程2切点坐标为x0,x02，求导后算出直线方程，将点B3,5代入求出切点坐标，从而计算出直线方程【详解】(1)fx=limx0x+x2-x2x =limx02xx+x2x =limx02x+x=2x.又点A2,4在曲线y=x2上,f2=4.故所求切线的斜率k=4,故所求切线的方程为y-4=4x-2,即4x-y-4=0.(2)点B3,5不在曲线y=x2上,设切点坐标为x0,x02,由(1)知fx=2x,切线的斜率k=2x0,切线方程为y-x02=2x0x-x0.又点B3,5在切线上,5-x02=2x03-x0,解得x0=1或x0=5.切点坐标为1,1,(5,25).故所求切线方程为y-1=2x-1或y-25=10x-5,即2x-y-1=0或10x-y-25=0.【点睛】解题的思路是求出曲线解析式的导函数，将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而写出切线方程，要求学生掌握求导法则以及会根据一点坐标和斜率写出直线的方程。18.18.在锐角ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且3a=2csinA（1）求角C的大小;（2）若c=7,且ABC的面积为332,求a+b的值.【答案】(1) 3.(2)5.【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为3sinA=2sinCsinA即可得sinC=32，故C=600（2）S=12absinC=332，b=3再由余弦定理可得边c试题解析：解：（1）由正弦定理得3sinA=2sinCsinA，A,C是锐角，sinC=32，故C=600.（2）S=12absinC=332，b=3由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-23=7c=7点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长视频19.19.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCB22AB.(1)证明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值【答案】（1）见解析（2）63【解析】(1)连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB22AB得，ACBC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD(1,1,0)，CE(0,2,1)，CA1(2,0,2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则nCD=0nCA1=0即x1y10，2x12z10可取n(1，1，1)同理，设m(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则mCE=0mCA1=0即2y2z20，2x22z20，.可取m(2,1，2)从而cosn，mnm|n|m|33，故sinn，m63即二面角DA1CE的正弦值为6320.20.如下图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.【答案】(1) 22.(2) x23+y22=1.【解析】【分析】1F1AB=90，则AOF2为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得椭圆的离心率2由AF2=2F2B，根据向量数量积的坐标运算，求出B的坐标，代入椭圆方程，即可求得和b的值，求得椭圆方程。【详解】(1)若,则为等腰直角三角形所以有即所以,(2)由题知,设由,即1，-b=2x-1，y2x-2=12y=-b解得,代入,得即,解得，b2=a2-c2=2所以椭圆方程为【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，结合向量知识求出点坐标，代入椭圆方程即可算出答案，本题解题思路清晰，题目较为基础21.21.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,C上一点(3,m)到焦点的距离为5.（1）求C的方程;（2）过F作直线l,交C于A,B两点,若直线AB中点的纵坐标为1,求直线l的方程.【答案】（1）y2=8x.（2）4x+y8=0.【解析】【分析】1法一：利用已知条件列出方程组，求解即可法二：利用抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可2法一：由1可得抛物线焦点F的坐标，设出A，B两点的坐标，利用点差法，求出线段AB中点的纵坐标为-1，得到直线的斜率，求出直线方程法二：设直线的方程为x=my+2，联立直线与抛物线方程，设出A，B两点的坐标，通过线段AB中点的纵坐标为-1，求出m即可【详解】法一:抛物线C: y2=2px(p0)的焦点F的坐标为(p2,0),由已知m2=2p3(3-p2)2+m2=5解得p=4或p=-16p0,p=4C的方程为y2=8x. 法二:抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,由抛物线的定义可知3-(-p2)=5解得p=4C的方程为y2=8x. 2.法一:由(1)得抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2,0)设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=8x1y22=8x2 两式相减,整理得y2-y1x2-x1=8y2+y1线段AB中点的纵坐标为-1直线的斜率kAB=8y2+y1=8(-1)2=-4直线的方程为y-0=-4(x-2)即4x+y-8=0分法二:由(1)得抛物线C的方程为y2=8x,焦点F(2,0)设直线的方程为x=my+2由y2=8xx=my+2消去x,得y2-8my-16=0设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中点的纵坐标为-1y1+y22=-(-8m)2=-1解得m=-14直线的方程为x=-14y+2即4x+y-8=0【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为x=my+2，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数。22.22.已知函数f(x)=(xk)ex.（1）求f(x)的单调区间;（2）求f(x)在区间0,1上的最小值【答案】（1）f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,+).（2）(1k)e.【解析】【分析】1对函数f(x)求导，令f(x)0，f(x)0，所得的解区间即为函数的单调区间2根据1中的结论，并对k分类讨论，分别得到k在不同取值区间内f(x)的最小值【详解】(1).令,得.当变化时,与的变化情况如下: - 0 + 所以的单调递减区间是;单调递增区间是.(2)当,即时,函数在上单调递增,所以在区间上的最小值为;当,即,由1知在上单调递减,在上单调递增,所以在区间上的最小值为.当,即时,函数在上单调递减,所以在区间上的最小值为.【点睛】本题主要考查了函数的求导并判断函数单调性与极值的方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，尤其含有参量时的导数需要进行分类讨论