（通用版）2019高考数学二轮复习 第二篇 第15练 立体几何精准提分练习 文.docx

第15练立体几何明晰考情1.命题角度：空间中的平行、垂直关系的证明与探求，空间几何体的表面积、体积，平面图形的折叠问题.2.题目难度：中档难度.考点一空间的平行、垂直关系方法技巧(1)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系.(2)证明线线垂直的常用方法利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；利用勾股定理的逆定理；利用线面垂直的性质.1.如图，在六面体ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求证：AE平面DBC；(2)若ABBC，BDCD，求证：ADDC.证明(1)过点D作DOBC，O为垂足.又平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，AEDO.又AE平面DBC，DO平面DBC，故AE平面DBC.(2)由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC，且DOBCO，DO，BC平面DBC，AB平面DBC.DC平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，DC平面ABD.又AD平面ABD，ADDC.2.(2018江苏)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.3.(2018全国)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点.(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.(1)证明因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.如图，连接OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，所以OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.因为OPOB，OPAC，OBACO，OB，AC平面ABC，所以PO平面ABC.(2)解作CHOM，垂足为H，又由(1)可得OPCH，因为OMOPO，OM，OP平面POM，所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题意可知OCAC2，CMBC，ACB45，所以在OMC中，由余弦定理可得，OM，CH.所以点C到平面POM的距离为.考点二几何体的表面积、体积方法技巧(1)空间几何体的表面积是各个面的面积之和，求解时可利用相应的面积公式计算.(2)几何体体积的常用解法直接法；割补法；等积转换法.4.(2018全国)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积.(1)证明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ACADA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QEDC且QEDC.由(1)知平面ACD平面ABC，又平面ACD平面ABCAC，CDAC，CD平面ACD，所以DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QABP的体积VQABPSABPQE32sin4511.5.如图，在棱长均为4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点.(1)求证：A1D1平面AB1D；(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱锥B1ABC的体积.(1)证明连接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别是BC和B1C1的中点，B1D1BD，且B1D1BD，四边形B1BDD1为平行四边形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四边形AA1D1D为平行四边形，A1D1AD.又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.(2)解在ABC中，边长均为4，则ABAC，D为BC的中点，ADBC.平面ABC平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC，AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱锥AB1BC的高.在ABC中，由ABACBC4，得AD2，在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，B1BC的面积为4.三棱锥B1ABC的体积即为三棱锥AB1BC的体积V428.6.(2018龙岩质检)已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥EABC的体积.解(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求直线.证明如下：取BC的中点H，连接AH，ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，AH平面BCD，同理，可证EN平面BCD，ENAH，EN平面ABC，AH平面ABC，EN平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，MNBC，MN平面ABC，BC平面ABC，MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，EF平面ABC.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NGDH，NGDH，由(1)可知EN平面ABC，所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等.又BCD是边长为2的等边三角形，DHBC，DH，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，DH平面ABC，NG平面ABC，NG，又ACAB3，BC2，SABCBCAH2.VEABCVNABCSABCNG.考点三立体几何的综合问题方法技巧(1)和折叠有关的平行、垂直问题，关键是弄清折叠前后变与不变的关系，找出隐含的平行、垂直关系.(2)立体几何中的探索性问题，可利用推理证明得出结论或利用特例得出结论，再针对一般情形给出证明.7.(2018全国)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由.(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.8.如图，已知正方形ABCD的边长为2，AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥ABCD.(1)求证：平面AOC平面BCD；(2)若三棱锥ABCD的体积为，且AOC是钝角，求AC的长.(1)证明四边形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，AO，CO平面AOC，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.(2)解由(1)知BD平面AOC，VABCDSAOCBD，OAOCsinAOCBD，即sinAOC2，sinAOC.又AOC是钝角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22OAOCcosAOC()2()22cos1206，AC.9.如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.解(1)AB1，AC2，BAC60，SABCABACsin60.由PA平面ABC可知，PA是三棱锥PABC的高，且PA1，三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N，在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.PA平面ABC，AC平面ABC，PAAC，MNAC.又BNAC，BNMNN，BN，MN平面BMN，AC平面MBN.又BM平面MBN，ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN，由MNPA，得.综上所述，在线段PC上存在点M，使得ACBM且.典例(12分)如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准(1)证明在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.1分又BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.3分(2)解如图，取AD的中点M，连接PM，CM.因为侧面PAD为等边三角形，所以PMAD，又底面ABCD平面PAD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD，所以PM底面ABCD.4分由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.6分因为CM底面ABCD，所以PMCM.8分设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2.解得x2(舍去)或x2.10分于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCDPM24.12分构建答题模板第一步证关系：空间中的线面关系以线线关系为基础，先寻找图形中的线线平行或线线垂直，再利用判定定理证线面平行或线面垂直.第二步找底面：计算几何体的体积，关键是确定几何体的底面和相应的高，理清计算的思路.第三步巧计算：利用已知条件巧妙搭建和要求体积的关系，计算所求面积或体积.1.(2018北京)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.2.(2017北京)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积.(1)证明因为PAAB，PABC，ABBCB，AB，BC平面ABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明因为ABBC，D是AC的中点，所以BDAC.由(1)知PABD，又ACPAA，AC，PA平面PAC，所以BD平面PAC.又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱锥EBCD的体积VDESBDCBDDCDE.3.(2018柳州模拟)如图，在长方形ABCD中，AB4，BC2，现将ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在平面ABC的投影E恰好在线段AB上.(1)证明：APPB；(2)求三棱锥PEBC的表面积.(1)证明由题意知PE平面ABC，又BC平面ABC，PEBC，又ABBC且ABPEE，AB，PE平面PAB，BC平面PAB，又AP平面PAB，BCAP，又APCP且BCCPC，BC，CP平面PBC，AP平面PBC，又PB平面PBC，APPB.(2)解在PAB中，由(1)得APPB，AB4，AP2，PB2，PE，BE3，SPEB3，在RtEBC中，EB3，BC2，EC，SEBC323，SPECPECE，SPBCBCPB222，三棱锥PEBC的表面积为SSPEBSEBCSPECSPBC32.4.如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC，(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.(1)证明因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，ACPCC，AC，PC平面PAC，所以DC平面PAC.(2)证明因为ABDC，又由(1)知DC平面PAC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB中点F，连接EF，CE，CF.因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，EF平面CEF，所以PA平面CEF.