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第八节函数与方程A组基础题组1.已知2是函数f(x)=log2(x+m),x2,2x,x2的一个零点,则f(f(4)的值是() A.3B.2C.1D.log23答案A由题意知log2(2+m)=0,所以m=-1,ff(4)=f(log23)=2log23=3.2.(2018山西联考,7)函数f(x)=lnx-2x2的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B易知f(x)=lnx-2x2的定义域为(0,+),且在定义域上单调递增.f(1)=-20,f(1)f(2)0(aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则a的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,0)C.(-1,0)D.-1,0)答案D当x0时,f(x)=3x-1有一个零点x=13,所以只需要当x0时,ex+a=0有一个根即可,即ex=-a.当x0时,ex(0,1,所以-a(0,1,即a-1,0),故选D.5.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.435-7414.5-56.7-123.6则函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有个.答案3解析由零点存在性定理及题中的对应值表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6上至少有3个零点.6.已知f(x)=xlnx,x0,x2-x-2,x0,则其零点为.答案1,-1解析当x0时,由f(x)=0,即xlnx=0得lnx=0,解得x=1;当x0时,由f(x)=0,即x2-x-2=0,也就是(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2.因为x0,所以x=-1.综上,函数的零点为1,-1.7.已知函数f(x)=2x-a,x1,ln(1-x),x1有两个零点,则实数a的取值范围是.答案2,+)解析当x1时,令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(-,1)上有1个零点,f(x)在1,+)上有1个零点.当x1时,令2x-a=0,得a=2x2,实数a的取值范围是2,+).8.判断函数f(x)=4x+x2-23x3在区间-1,1上零点的个数,并说明理由.解析因为f(-1)=-4+1+23=-730,所以f(x)在区间-1,1上有零点.又f(x)=4+2x-2x2=92-2x-122,当-1x1时,0f(x)92,所以f(x)在-1,1上是单调递增函数.所以f(x)在-1,1上有且只有一个零点.9.设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的零点;(2)若对任意bR,函数f(x)恒有两个不同零点,求实数a的取值范围.解析(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3,x=-1.所以函数f(x)的零点为3,-1.(2)依题意,f(x)=ax2+bx+b-1=0恒有两个不同实根,所以b2-4a(b-1)0恒成立,即对任意bR,b2-4ab+4a0恒成立,所以有(-4a)2-41(4a)0a2-a0,解得0a1,因此实数a的取值范围是(0,1).B组提升题组1.(2019河北廊坊一模)方程2x+3x=k的解在1,2)内,则k的取值范围为.答案5,10)解析令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)f(2)0,即(5-k)(10-k)0,解得5km,其中m0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.答案(3,+)解析当m0时,函数f(x)=|x|,xm,x2-2mx+4m,xm的图象如下:xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m24m-m2,要使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,必须有4m-m23m,解得m3,m的取值范围是(3,+).3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x0,+)时,f(x)=x2-2x.(1)写出函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=a恰有3个不同的解,求实数a的取值范围.解析(1)当x(-,0)时,-x(0,+).f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,f(x)=x2-2x,x0,-x2-2x,x0,x+1,x0.(1)求gf(1)的值;(2)若方程gf(x)-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解析(1)f(1)=-12-21=-3,gf(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)若f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t(-,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象,如图所示,由图象可知,当1a54时,函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,即所求a的取值范围是1,54.
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