资源描述
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类命题、命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3充要条件若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件pq且qpA是B的真子集集合与充要条件p是q的必要不充分条件p q且qpB是A的真子集p是q的充要条件pqABp是q的既不充分也不必要条件p q且qpA，B互不包含小题体验1下列命题是真命题的是()A若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域上是减函数B命题“若xy0，则x0”的否命题C“m3”是“直线(m3)xmy20与mx6y50垂直”的充要条件D命题“若cos xcos y，则xy”的逆否命题答案：B2(2019温州高考适应性测试)已知，R，则“”是“cos cos ”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析：选D / cos cos ，如，而coscos；cos cos / ，如，cos cos，而.故选D.3设a，b是向量，则命题“若ab，则|a| b|”的逆否命题为：_.答案：若|a|b|，则ab1易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论2易忽视A是B的充分不必要条件(AB且BA)与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同小题纠偏1(2019杭州模拟)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B2“在ABC中，若C90，则A，B都是锐角”的否命题为：_.解析：原命题的条件：在ABC中，C90，结论：A，B都是锐角否命题是否定条件和结论即“在ABC中，若C90，则A，B不都是锐角”答案：在ABC中，若C90，则A，B不都是锐角题组练透1命题“若a2b2，则ab”的否命题是()A若a2b2，则abB若a2b2，则abC若ab，则a2b2 D若ab，则a2b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”该题中，p为a2b2，q为ab，故綈p为a2b2，綈q为ab.所以原命题的否命题为：若a2b2，则ab.2命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x23x40，所以x4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题3给出以下四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2xq0有实根”的逆否命题；若ab是正整数，则a，b都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a1，b3，故为假命题答案：谨记通法1写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断典例引领1(2019杭州高三四校联考)“a1”是“x2ax0(xR)”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若x2ax0(xR)，则a210，即1a1，所以“a1”是“x2ax0(xR)”的必要不充分条件故选A.2(2019杭州高三质检)设数列an的通项公式为ankn2(nN*)，则“k2”是“数列an为单调递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为ankn2(nN*)，所以当k2时，an1ank2，则数列an为单调递增数列若数列an为单调递增数列，则an1ank0即可，所以“k2”是“数列an为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数ykxb的单调性知，“数列an为单调递增数列”的充要条件是“k0”，所以“k2”是“数列an为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.由题悟法充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的某种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的某种条件即时应用1设a0，b0，则“a2b21”是“abab1”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B因为a0，b0，所以ab0，ab10，故不等式abab1成立的充要条件是(ab1)2(ab)2，即a2b2a2b21.显然，若a2b2a2b21，则必有a2b21，反之则不成立，所以a2b21是a2b2a2b21成立的必要不充分条件，即a2b21是abab1成立的必要不充分条件2(2019浙江期初联考)若a，bR，使|a|b|4成立的一个充分不必要条件是()A|ab|4 B|a|4C|a|2且|b|2 Db4解析：选D对选项A，若ab2，则|a|b|224，不能推出|a|b|4；对选项B，若a44，b0，此时不能推出|a|b|4；对选项C，若a22，b22，此时不能推出|a|b|4；对选项D，由b4可得|a|b|4，但由|a|b|4得不到b4.故选D.3(2019宁波模拟)已知四边形ABCD为梯形，ABCD，l为空间一直线，则“l垂直于两腰AD，BC”是“l垂直于两底AB，DC”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A因为四边形ABCD是梯形，且ABCD，所以腰AD，BC是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l垂直于两腰AD，BC时，l垂直于ABCD所在平面，所以l垂直于两底AB，CD，所以是充分条件；当l垂直于两底AB，CD，由于ABCD，所以l不一定垂直于ABCD所在平面，所以l不一定垂直于两腰AD，BC，所以不是必要条件所以是充分不必要条件典例引领若不等式0成立的一个充分不必要条件是x，则实数m的取值范围是_解析：令A，B.因为不等式0成立的充分不必要条件是x，所以BA.当m12m，即m1时，Ax|m1x2m由BA得解得m；当m12m，即m1时，A，不满足BA；当m12m，即m1时，Ax|2mxm1由BA得此时m无解综上，m的取值范围为.答案：由题悟法根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象即时应用1(2019杭州名校大联考)已知条件p：|x1|2，条件q：xa，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A1，)B(，1C3，) D(，3解析：选A由|x1|2，可得x1或x3，所以綈p：3x1；又綈q：xa.因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以a1.2已知“命题p：(xm)23(xm)”是“命题q：x23x40”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_解析：命题p：xm3或xm，命题q：4x1.因为p是q成立的必要不充分条件，所以m34或m1，故m7或m1.答案：(，71，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若(2x1)x0，则x或x0，即不一定是x0；若x0，则一定能推出(2x1)x0.故“(2x1)x0”是“x0”的必要不充分条件2设a，bR，则“a3b3且ab0”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由a3b3，知ab，由ab0，知a0b，所以此时有，故充分性成立；当时，若a，b同号，则ab，若a，b异号，则ab，所以必要性不成立故选A.3设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若0，则f(x)cos x为偶函数；若f(x)cos(x)(xR)为偶函数，则k(kZ)故“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的充分不必要条件4命题p：“若x21，则x1”的逆命题为q，则p与q的真假性为()Ap真q真 Bp真q假Cp假q真 Dp假q假解析：选Bq：若x1，则x21.p：x21，则1x1.p真，当x1时，x21不一定成立，q假，故选B.5若x5是xa的充分条件，则实数a的取值范围为()A(5，) B5，)C(，5) D(，5解析：选D由x5是xa的充分条件知，x|x5x|xa，a5，故选D.二保高考，全练题型做到高考达标1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B“若一个数的平方是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”2命题“对任意实数x1,2，关于x的不等式x2a0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()Aa4 Ba4Ca3 Da3解析：选C即由“对任意实数x1,2，关于x的不等式x2a0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x1,2，关于x的不等式x2a0恒成立”因为x1,2，所以x21,4，x2a0恒成立，即x2a，因此a4；反之亦然故选C.3有下列命题：“若xy0，则x0且y0”的否命题；“矩形的对角线相等”的否命题；“若m1，则mx22(m1)xm30的解集是R”的逆命题；“若a7是无理数，则a是无理数”的逆否命题其中正确的是()A BC D解析：选C的逆命题为“若x0且y0，则xy0”为真，故否命题为真；的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；的逆命题为，若mx22(m1)xm30的解集为R，则m1.当m0时，解集不是R，应有 即m1.是真命题；原命题为真，逆否命题也为真4(2019浙江名校联考信息卷)已知直线l的斜率为k，倾斜角为，则“0”是“k1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A当0时，0k1；反之，当k1时，0或.故“0”是“k1”的充分不必要条件，故选A.5命题“对任意x1,2)，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()Aa4 Ba4Ca1 Da1解析：选B要使“对任意x1,2)，x2a0”为真命题，只需要a4，a4是命题为真的充分不必要条件6命题“若ab，则ac2bc2(a，bR)”，否命题的真假性为_解析：命题的否命题为“若ab，则ac2bc2”若c0，结论成立若c0，不等式ac2bc2也成立故否命题为真命题答案：真7下列命题：“ab”是“a2b2”的必要条件；“|a|b|”是“a2b2”的充要条件；“ab”是“acbc”的充要条件其中是真命题的是_(填序号)解析：ab/ a2b2，且a2b2/ ab，故不正确；a2b2|a|b|，故正确；abacbc，且acbcab，故正确答案：8已知，(0，)，则“sin sin ”是“sin()”的_条件解析：因为sin()sin cos cos sin sin sin ，所以若sin sin ，则有sin()，故充分性成立；当时，有sin()sin 0，而sin sin 112，不满足sin sin ，故必要性不成立所以“sin sin ”是“sin()”的充分不必要条件答案：充分不必要9已知p：实数m满足m212a27am(a0)，q：方程1表示焦点在y轴上的椭圆若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：由a0，m27am12a20，得3am4a，即p：3am4a，a0.由方程1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即q：1m.因为p是q的充分不必要条件，所以或解得a，所以实数a的取值范围是.答案：10已知集合A，Bx|xm21若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解：yx2x12，x，y2，A.由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分条件，AB，1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，) B(2，)C1，) D(，1解析：选B由1得，10，即(x2)(x1)0，解得x1或x2，由p是q的充分不必要条件知，k2，故选B.2在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k4nk|nZ，k0,1,2,3，则下列结论正确的为_(填序号)2 0182；13；Z0123；命题“整数a，b满足a1，b2，则ab3”的原命题与逆命题都正确；“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”解析：由“类”的定义k4nk|nZ，k0,1,2,3，可知，只要整数m4nk，nZ，k0,1,2,3，则mk，对于中，2 01845042，所以2 0182，所以符合题意；对于中，14(1)3，所以符合题意；对于中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”0，1，2，3，所以Z0123，所以符合题意；对于中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若ab3，不妨设a0，b3，则此时a1且b2，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于中，因为“整数a，b属于同一类”，不妨设a4mk，b4nk，m，nZ，且k0,1,2,3，则ab4(mn)0，所以ab0；反之，不妨设a4mk1，b4nk2，m，nZ，k10,1,2,3，k20,1,2,3，则ab4(mn)(k1k2)，若ab0，则k1k20，即k1k2，所以整数a，b属于同一类，故“整数a，b属于同一类”的充要条件是“ab0”，所以符合题意答案：3已知全集UR，非空集合A，Bx|(xa)(xa22)0，命题p：xA，命题q：xB.(1)当a12时，若p真q假，求x的取值范围；(2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围解：(1)当a12时，Ax|2x37，Bx|12x146，因为p真q假所以(UB)Ax|2x12，所以x的取值范围为(2,12(2)若q是p的必要条件，即pq，可知AB.因为a22a，所以Bx|axa22当3a12，即a时，Ax|2x3a1，应满足条件解得a；当3a12，即a时，A，不符合题意；当3a12，即a时，Ax|3a1x2，应满足条件解得a；综上所述，实数a的取值范围为.命题点一集合及其运算1(2018浙江高考)已知全集U1,2,3,4,5，A1,3，则UA()AB1,3C2,4,5 D1,2,3,4,5解析：选CU1,2,3,4,5，A1,3，UA2,4,52(2018天津高考)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()Ax|0x1 Bx|0x1Cx|1x2 Dx|0x2解析：选B全集为R，Bx|x1，RBx|x1集合Ax|0x2，A(RB)x|0x13(2017浙江高考)已知集合Px|1x1，Qx|0x2，那么PQ()A(1,2)B(0,1)C(1,0) D(1,2)解析：选A根据集合的并集的定义，得PQ(1,2)4(2018全国卷)已知集合Ax|x10，B0,1,2，则AB()A0 B1C1,2 D0,1,2解析：选CAx|x10x|x1，B0,1,2，AB1,25(2018全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A9 B8C5 D4解析：选A将满足x2y23的整数x，y全部列举出来，即(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，共有9个故选A.6(2017江苏高考)已知集合A1,2，Ba，a23若AB1，则实数a的值为_解析：因为a233，所以由AB1得a1，即实数a的值为1.答案：1命题点二充要条件1(2016浙江高考)已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选Af(x)x2bx2，当x时，f(x)min，又f(f(x)(f(x)2bf(x)2，当f(x)时，f(f(x)min，当时，f(f(x)可以取到最小值，即b22b0，解得b0或b2，故“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件选A.2(2017浙江高考)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选C因为an为等差数列，所以S4S64a16d6a115d10a121d,2S510a120d，S4S62S5d，所以d0S4S62S5.3(2015浙江高考)设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选D特值法：当a10，b1时，ab0，ab0，故ab0/ ab0；当a2，b1时，ab0，但ab0，所以ab0/ ab0.故“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件4(2018天津高考)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A由，得0x1，则0x31，即“”“x31”；由x31，得x1，当x0时，即“x31” / “”所以“”是“x31”的充分而不必要条件5(2017天津高考)设R，则“”是“sin ”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A法一：由，得0，故sin .由sin ，得2k2k，kZ，推不出“”故“”是“sin ”的充分而不必要条件法二：0sin ，而当sin 时，取，.故“”是“sin ”的充分而不必要条件6(2018北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选C由|a3b|3ab|，得(a3b)2(3ab)2，即a29b26ab9a2b26ab.又a，b均为单位向量，所以a2b21，所以ab0，能推出ab.由ab，得|a3b|，|3ab|，能推出|a3b|3ab|，所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充分必要条件命题点三四种命题及其关系1(2015山东高考)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”2(2018北京高考)能说明“若ab，则”为假命题的一组a，b的值依次为_解析：只要保证a为正b为负即可满足要求当a0b时，0.答案：1，1(答案不唯一)3(2017北京高考)能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则abc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_解析：因为“设a，b，c是任意实数若abc，则abc”是假命题，则它的否定“设存在实数a，b，c.若abc，则abc”是真命题由于abc，所以ab2c，又abc，所以c0.因此a，b，c依次可取整数1，2，3，满足abc.答案：1，2，3(答案不唯一)
展开阅读全文