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课时跟踪检测（十一） 数学归纳法层级一学业水平达标1设Sk，则Sk1为()ASkBSkCSk DSk解析：选C因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk，得Sk1.由，得Sk1Sk.故Sk1Sk.2利用数学归纳法证明不等式1n(n2，nN*)的过程中，由nk变到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项C2k1项 D2k项解析：选D当nk时，不等式左边的最后一项为，而当nk1时，最后一项为，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项3一个与正整数n有关的命题，当n2时命题成立，且由nk 时命题成立可以推得nk2时命题也成立，则()A该命题对于n2的自然数n都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与k取值无关D以上答案都不对解析：选B由nk时命题成立可推出nk2时命题也成立，又n2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4对于不等式 n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时， 11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即 k1，则当nk1时，(k1)1，nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确解析：选D在nk1时，没有应用nk时的归纳假设，故选D.5设f(n)5n23n11(nN*)，若f(n)能被m(mN*)整除，则m的最大值为()A2 B4C8 D16解析：选Cf(1)8，f(2)32，f(3)144818，猜想m的最大值为8.6用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2nn3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是_解析：2101 024103,2951293，n0最小应为10.答案：107用数学归纳法证明，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答案：8对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.解析：当n1时，36a3能被14整除的数为a3或5；当a3且n2时，31035不能被14整除，故a5.答案：59已知数列an满足a11，an12an1(nN*)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想出通项公式an，并且用数学归纳法证明解：(1)a23，a37，a415，a531.(2)归纳猜想出通项公式an2n1，当n1时，a11211，成立假设nk时成立，即ak2k1，则当nk1时，由an12an1(nN*)，得：ak12ak12(2k1)12k1212k11，所以nk1时也成立；综合，对nN*等式都成立，从而得证10用数学归纳法证明11n(nN*)证明：(1)当n1时，1，命题成立(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即11k，则当nk1时，112k1.又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有nN*都成立层级二应试能力达标1.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C增加一个顶点，就增加n13条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故应选C.2设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.解析：选Df(n1)f(n).3设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k1)与f(k)的关系是()Af(k1)f(k)k1Bf(k1)f(k)k1Cf(k1)f(k)kDf(k1)f(k)k2解析：选C当nk1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而nk1时交点的个数是f(k)kf(k1)4若命题A(n)(nN*)nk(kN*)时命题成立，则有nk1时命题成立现知命题对nn0(n0N*)时命题成立，则有()A命题对所有正整数都成立B命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：选C由题意知nn0时命题成立能推出nn01时命题成立，由nn01时命题成立，又推出nn02时命题也成立，所以对大于或等于n0的正整数命题都成立，而对小于n0的正整数命题是否成立不确定5用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为_解析：当n1时，n12，所以左边1aa2.答案：1aa26用数学归纳法证明12222n12n1(nN*)的过程如下：当n1时，左边201，右边2111，等式成立假设nk(k1，且kN*)时，等式成立，即12222k12k1.则当nk1时，12222k12k2k11，所以当nk1时，等式也成立由知，对任意nN*，等式成立上述证明中的错误是_解析：由证明过程知，在证从nk到nk1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案：没有用归纳假设7平面内有n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2n2部分证明：(1)当n1时，n2n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当nk(k1，kN*)时命题成立，即k个圆把平面分成k2k2部分则当nk1时，这k1个圆中的k个圆把平面分成k2k2个部分，第k1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k个部分，故k1个圆把平面分成k2k22k(k1)2(k1)2部分，即nk1时命题也成立综上所述，对一切nN*，命题都成立8已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解：(1)已知a11，由题意，得a1a222，a222.a1a2a332，a3.同理，可得a4，a5.因此这个数列的前5项分别为1,4，.(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为：an下面用数学归纳法证明当n2时，an.当n2时，a222，结论成立假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即ak.a1a2ak1(k1)2，a1a2ak1akak1(k1)2，ak1.这就是说当nk1时，结论也成立根据可知，当n2时，这个数列的通项公式是an.这个数列的通项公式为an
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