2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 二 平行线分线段成比例定理学案 新人教A版选修4-1.docx

二平行线分线段成比例定理学习目标1.理解平行线分线段成比例定理.2.理解平行线分线段成比例定理的推论.3.能应用定理及推论解决相关的几何计算问题和证明问题.知识链接1.对于成比例线段有下面的结论：(1)如果，那么ad_.(2)如果，那么_.(3)如果(ab，cd)，那么_.提示bc2.如图所示，l1l2l3，ABBC23，DF15，求DE，EF的长度.提示由已知可设DE2x，EF3x，则2x3x15，x3，DE6，EF9.预习导引1.平行线分线段成比例定理文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例符号语言abc，直线m分别与a，b，c相交于点A，B，C，直线n分别与a，b，c相交于点D，E，F，则图形语言作用证明分别在两条直线上的线段成比例2.推论文字语言平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例符号语言直线DE分别与ABC的两边AB，AC所在直线交于D，E，且DEBC，则图形语言作用证明三角形中的线段成比例要点一平行线分线段成比例定理的理解例1如图，已知线段AB，在线段AB上找一点C，使ACCB.解作法：(1)过点A作适当射线AK；(2)在射线AK上依次截取点B1，B2，B3，使AB1B1B2B2B3；(3)连接BB3；(4)过B1作B1CBB3交AB于点C，则点C即为所求.证明如下：B1CBB3，.又AB33AB1，.即ACCB.规律方法可应用平行线分线段成比例定理来作图，由于ACCB，所以C为线段AB的三等分点，于是作射线AK，然后在AK上依次截取AB1B1B2B2B3，连接B3B.过B1作B1CB3B，即得到点C.跟踪演练1如图，D，E，F分别在AB，AC，BC上，且DEBC，DFAC，则下列等式成立的是()A.B.C.D.解析DEBC，.又DFAC，.由知，即，.答案D要点二平行线分线段成比例定理及推论的简单应用例2如图所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BDDC.求证：AEFBECFA.证明法一如图所示，过A作AGBC，交DF于点G.AGBC，.又BDDC，.又由AGBC，得.，即AEFBECFA.法二如图所示，过点B作BMAC交FD的延长线于M.AEBM，.又由BMEC，知34，又12且BDDC，EDCMDB，BMEC.，即AEFBECFA.规律方法在利用平行线分线段成比例定理及推论解决问题时，常常在复杂的图形中找出基本图形(有时需添加辅助线，构成基本图形)，借图解题.本题证AEFBECFA.可先证比例式，构造含平行线的基本图形，利用平行线分线段成比例定理及其推论进行证明.跟踪演练2如图所示，l1l2l3.求证：.证明l1l2l3，.要点三平行线分线段成比例定理及推论的综合应用例3如图所示，在ABC中，CDAB于D，E为BC边中点，延长AC，DE相交于点F.求证：.证明作EHAB交AC于点H，同理可证：，.BDC为直角三角形且E为BC边中点，BECEDE，.规律方法通过添加辅助线，构造基本图形，借图寻找合适的等量关系，再结合其他知识综合利用，以解决问题.跟踪演练3如图所示，四边形ABCD为平行四边形，过B的直线分别交AC，AD，CD的延长线于O，F，E.求证：OB2OFOE.证明ABCE，.又AFBC，.ABDE，.由得，即.由得，又由得.即OB2OEOF.1.比例的性质这是学好本节的前提.(1)基本性质abcdadbc.(2)合比性质：如果，那么.(3)等比性质：如果(bdn0)，那么.2.利用平行线转移比例式是常用的证题技巧，当题目中没有平行条件而有必要转移比例式时，常添加辅助平行线.添加的辅助线不同，解题方法也不相同.3.推论的图形变化如图所示.1.如图所示，ABCD，AC，BD交于O，BO7，DO3，AC25，则AO的长为()A.10 B.7.5C.15 D.17.5解析ABCD，.，即，AO17.5.答案D2.如图，l1l2l3，已知AB6 cm，BC3 cm，A1B14 cm，则B1C1的长为()A.6 cm B.4 cm C.3cm D.2 cm解析l1l2l3，B1C12.答案D3.如图，E是ABCD的边AB延长线上的一点，且，则_.解析由已知：BFAD，1，又ABDC，.答案4.如图所示，DEBC，EFDC.求证：AD2AFAB.证明在ABC中，DEBC，.在ADC中，EFDC，即AD2AFAB.一、基础达标1.如图所示，ACE的中点B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是()A.BDCEB.BDCEC.BDCED.BDCE解析由平行线等分线段定理的推论，易知A，B，C都正确，D错.答案D2.如图所示，AD是ABC的中线，点E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AFFD为()A.21 B.31 C.41 D.51解析过D作DGAC交BE于G，则DGEC，又AE2EC，AFFDAEDG2ECEC41.答案C3.如图所示，在梯形ABCD中，BCAD，E是DC延长线上一点，AE交BD于点G，交BC于点F，下列结论：；.其中正确的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析BCAD，对，对，故也对.错.答案C4.如图所示，在ABC中，DEBC，EFCD，若BC3，DE2，DF1，则AB的长为_.解析DEBC，EFCD，BC3，DE2，又DF1，故可解得AF2，AD3，又，AB.答案5.如图，在ABC中，DEBC，DFAC，AE2，EC1，BC4，则BF_.解析DFAC，.BF4.答案6.如图所示，在ABCD中，H，E分别是AD，AB延长线上一点，HE交DC于K，交AC于G，交BC于F.求证：GHGKGEGF.证明要证GHGKGEGF，即证.由ADBC得，由ABCD得，即GHGKGEGF.7.如图所示，已知有ABCD，点N是AB延长线上一点，DN交BC于点M，则为()A.B.1 C.D.解析由CDBN得，又四边形ABCD为平行四边形，故ABCD，1.答案B二、能力提升8.如图所示，ABGHCD，AB2，CD3，则GH的长是_.解析ABGH，GHCD，1，GH.答案9.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为_.解析EFAB，且EF3(ABCD)，EF是梯形中位线，设梯形ABFE的高为h，S梯形ABFE(43)hh，S梯形EFCD(23)hh，S梯形ABFES梯形EFCDhh.答案10.已知ADEFBC，点E，F分别在AB，CD上，AEBE23，AD10 cm，BC15 cm，求EF的长.解如图，连接BD交EF于点G.，.ADEFBC，.BC15 cm，GF6 cm.同理可得EG6 cm.EFEGGF12 cm.11.如图所示，BDDC53，E为AD的中点，求BEEF的值.解过D作DGCA交BF于G，则.E为AD的中点，DGAF，DGEAFE，EGEF.2.故11.三、探究与创新12.在ABC中，点D在BC边上，过点C任作一直线与边AB及AD分别交于点F，E.(1)如图(1)所示，DGCF交AB于点G，当D是BC边的中点时，求证：；(2)如图(2)所示，当时，求证：；(3)如图(3)所示，当时，猜想：与之间是否存在着一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的关系式，并给出证明过程；若不存在，请说明理由.(1)证明DGCF，BDDC，BGFGBF.EFDG，.(2)证明过点D作DGCF交AB于点G，如题图(2)所示，.又，DC2BDBC.DGFC，.FGBF.(3)解当时，有关系式：.证明如下：如题图(3)所示，过点D作DGCF交AB于点G，.又，DGFC，FGBF，.