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第1讲坐标系与参数方程考情考向分析高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识热点一极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则例1(2018佛山模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1上一点A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为cos .(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)设点M，N在C1上，点P在C2上(异于极点)，若O，M，P，N四点依次在同一条直线l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比数列，求 l的极坐标方程解(1)曲线C1的直角坐标方程为(xa)2y23，化简得x2y22axa230.又x2y22，xcos ，所以22acos a230.代入点，得a2a20，解得a2或a1(舍去)所以曲线C1的极坐标方程为24cos 10.(2)由题意知，设直线l的极坐标方程为(R)，设点M，N，P，则13b0)的参数方程为(为参数)(2)抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)例2(2018全国)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.思维升华(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x，y有范围限制，要标出x，y的取值范围跟踪演练2(2018北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是.(1)求直线l的普通方程；(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标解(1)直线l的普通方程为3xy60.(2)点M的直角坐标是(1，)，过点M作直线l的垂线，垂足为M，则点M即为所求的直线l上到点M距离最小的点直线MM的方程是y(x1)，即yx.由解得所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是.热点三极坐标、参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等例3(2018泉州质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m：(0)(1)求C和l的极坐标方程；(2)设点A是m与C的一个交点(异于原点)，点B是m与l的交点，求的最大值解(1)曲线C的普通方程为(x1)2y21，由得22sin21，化简得C的极坐标方程为2cos .因为l的普通方程为xy40，所以极坐标方程为cos sin 40，所以l的极坐标方程为sin2.(2)设A(1，)，B(2，)，则2cos (sin cos cos2)sin，由射线m与C，直线l相交，则不妨设，则2，所以当2，即时，取得最大值，即max.思维升华(1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用跟踪演练3(2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2cos .(1)若曲线C2的参数方程为(为参数)，求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；(2)若曲线C2的参数方程为(t为参数)，A(0,1)，且曲线C1与曲线C2的交点分别为P，Q，求的取值范围解(1)2cos ，22cos ，又2x2y2，cos x，曲线C1的直角坐标方程为x2y22x0，曲线C2的普通方程为x2(y1)2t2.(2)将C2的参数方程(t为参数)代入C1的方程x2y22x0，得t2(2sin 2cos )t10.(2sin 2cos )248sin240，sin.t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t210，t1t210，t1，t2同号，|t1|t2|t1t2|.由点A在曲线C2上，根据t的几何意义，可得2(2,2(2,2真题体验1(2018全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos ，ysin ，得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右侧的射线为l1，y轴左侧的射线为l2.由于点B在圆C2的外部，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点，满足题意当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.2(2017全国)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(0)，点M的极坐标为(1，)(10)，由题设知，|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos (0)所以C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos .于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 4cos |sin 2cos 2|22.当2，即时，S取得最大值2，所以OAB面积的最大值为2.押题预测1已知曲线C的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线的倾斜角的值押题依据极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题解(1)由4cos ，得24cos .因为x2y22，xcos ，所以x2y24x，即曲线C的直角坐标方程为(x2)2y24.(2)将代入圆的方程(x2)2y24，得(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系，得所以|AB|t1t2|，故4cos21，解得cos .因为直线的倾斜角0，)，所以或.2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)，其中ab0.以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2cos ，射线l：(0)若射线l与曲线C1交于点P，当0时，射线l与曲线C2交于点Q，|PQ|1；当时，射线l与曲线C2交于点O，|OP|.(1)求曲线C1的普通方程；(2)设直线l：(t为参数，t0)与曲线C2交于点R，若，求OPR的面积押题依据将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势解(1)因为曲线C1的参数方程为(为参数)，且ab0，所以曲线C1的普通方程为1，而其极坐标方程为1.将0(0)代入1，得a，即点P的极坐标为；将0(0)代入2cos ，得2，即点Q的极坐标为(2,0)因为|PQ|1，所以|PQ|a2|1，所以a1或a3.将(0)代入1，得b，即点P的极坐标为，因为|OP|，所以b.又因为ab0，所以a3，所以曲线C1的普通方程为1.(2)因为直线l的参数方程为(t为参数，t0)，所以直线l的普通方程为yx(x0)，而其极坐标方程为(R，0)，所以将直线l的方程代入曲线C2的方程2cos ，得1，即|OR|1.因为将射线l的方程(0)代入曲线C1的方程1，得，即|OP|，所以SOPR|OP|OR|sinPOR1sin .A组专题通关1(2018百校联盟TOP20联考)已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l1：x0，直线l2：xy0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系(1)写出曲线C和直线l1，l2的极坐标方程；(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求|AB|.解(1)依题意知，曲线C：(x1)225，即x22xy24y0，将xcos ，ysin 代入上式，得2cos 4sin .因为直线l1：x0，直线l2：xy0，故直线l1，l2的极坐标方程为l1：(R)，l2：(R)(2)设A，B两点对应的极径分别为1，2，在2cos 4sin 中，令，得12cos4sin4，令，得22cos4sin3，因为，所以|AB|.2(2018衡水金卷模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程是sin1，圆C的参数方程为(为参数，r0)(1)若直线l与圆C有公共点，求实数r的取值范围；(2)当r2时，过点D(2,0)且与直线l平行的直线l交圆C于A，B两点，求的值解(1)由sin1，得1，即yx1，故直线l的直角坐标方程为xy20.由得所以圆C的普通方程为(x1)2y2r2.若直线l与圆C有公共点，则圆心(1,0)到直线l的距离dr，即r，故实数r的取值范围为.(2)因为直线l的倾斜角为，且过点D(2,0)，所以直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的直角坐标方程为(x1)2y24，联立，得t2t30，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t21，t1t230且a1)，点P的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C2的方程，并说明C2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A点的极坐标为，射线与C2的异于极点的交点为B，已知AOB面积的最大值为42，求a的值解(1)设P(x，y)，M，由a，得点M在C1上，即(为参数)，消去参数，得2y24a2(a0且a1)曲线C2是以为圆心，以2a为半径的圆(2)方法一A点的直角坐标为(1，)，直线OA的普通方程为yx，即xy0.设B点坐标为(2a2acos ，2asin )，则B点到直线xy0的距离da.当时，dmax(2)a.SAOB的最大值为2(2)a42，a2.方法二将xcos ，ysin 代入2y24a2，并整理得4acos ，令，得4acos .B.SAOB|OA|OB|sinAOB4acos a|2sin cos 2cos2|a|sin 2cos 2|a，当时，SAOB取得最大值(2)a，依题意知(2)a42，a2.5(2018河南省南阳市第一中学考试)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为(为参数)，l1，l2为过点O的两条直线，l1交M于A，B两点，l2交M于C，D两点，且l1的倾斜角为，AOC.(1)求l1和M的极坐标方程；(2)当时，求点O到A，B，C，D四点的距离之和的最大值解(1)依题意知，直线l1的极坐标方程为(R)，由消去，得(x1)2(y1)21，将xcos ，ysin 代入上式，得22cos 2sin 10，故M的极坐标方程为22cos 2sin 10.(2)依题意可设A(1，)，B(2，)，C，D，且1，2，3，4均为正数，将代入22cos 2sin 10，得22(cos sin )10，所以122(cos sin )，同理可得，342，所以点O到A，B，C，D四点的距离之和为12342(cos sin )2(1)sin (3)cos 2(1)sin，因为，所以，所以当sinsin1，即时，1234取得最大值22，所以点O到A，B，C，D四点距离之和的最大值为22.B组能力提高6在直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线E的极坐标方程；(2)若直线l交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值解(1)将点P代入曲线E的方程，得解得a23，所以曲线E的普通方程为1，极坐标方程为21.(2)不妨设点A，B的极坐标分别为A(1，)，B，10，20，则即所以，即，所以为定值.7已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为2cos(为参数)(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2cos 4sin 的距离的最小值解(1)点P的直角坐标为，由2cos，得2cos sin ，将2x2y2，cos x，sin y代入，可得曲线C的直角坐标方程为221.(2)直线2cos 4sin 的直角坐标方程为2x4y0，设点Q的直角坐标为，则M，点M到直线l的距离d，其中tan .d(当且仅当sin()1时取等号)，点M到直线l：2cos 4sin 的距离的最小值为.8已知0，)，在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)；在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l2的极坐标方程为cos()2sin(为参数)(1)求证：l1l2；(2)设点A的极坐标为，P为直线l1，l2的交点，求|OP|AP|的最大值(1)证明易知直线l1的普通方程为xsin ycos 0.又cos()2sin可变形为cos cos sin sin 2sin，即直线l2的直角坐标方程为xcos ysin 2sin0.因为sin cos (cos )sin 0，根据两直线垂直的条件可知，l1l2.(2)解当2，时，cos()2cos2sin，所以点A在直线cos()2sin上设点P到直线OA的距离为d，由l1l2可知，d的最大值为1.于是|OP|AP|d|OA|2d2，所以|OP|AP|的最大值为2.
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